Vektoraritmetik

I denna artikel inför vi begreppet vektor, och de elementära operationerna på vektorer, och hur de fungerar.

Vektorbegreppet

En vektor är en fysikalisk och en geometrisk storhet, som har en storlek/längd och en riktning. Exempel på vektorstorheter är kraft, hastighet (till skillnad på fart som bara är storleken på hastigheten, och inte någon riktning), acceleration osv.

En vektor representeras som en riktad sträcka, och ritas som en pil. En vektor har ingen speciell placering, utan man får parallellförflytta vektorer, utan att ändra dess längd eller riktning, utan att ändra på vektorn. Två vektorer är alltså lika med varandra om de har samma storlek, och samma riktning.

En vektor som går från punkt A till punkt B brukar betecknas med \( \vec{AB}\), eller \( \overline{AB}\). En vektor som går från A till B är inte samma vektor som går från B till A. Dvs \( \overline{AB} \neq \overline{BA}\). Vektorer, som man inte vill belysa att de går från en punkt \( A\) till en punkt \( B\), kan man beteckna \( \overline v\)\( \vec v\), eller \( \mathbf v\). Jag kommer i framtida artiklar att använda det första skrivsättet.

vektorer

Ortsvektor

För att definera begreppet ortsvektor, måste vi först definera begreppet origo. Origo är en punkt, som betecknas \( O\), är en slagsutgångspunkt i geometri. Den viktigaste egenskapen med origo är att vi själva får välja vart origo ska vara. En ortsvektor är nu en vektor som går från origo till en punkt \( P\). En ortsvektor kan inte parallellförflyttas, utan är fix, så fort man definerat och valt ett origo.

ortsvektor

Längden av en vektor

Längden av en vektor kan vi tala om, om det finns definerat en metrik, eller ett måttsystem, som vi kan mäta saker med. Längden, eller beloppet av en vektor betecknas \( |\overline v|\). Nollvektorn \( \overline 0\), har belopp 0. Alla andra vektorer har ett belopp som är skiljt från 0.

Multiplikation med tal

En vektor kan multipliceras med ett reellt tal. Detta tolkas som en förlängning, eller förminskning av vektorn. Multiplikation med ett positivt tal påverkar endast längden av vektorn, och inte riktningen. T.ex. multiplikation med talet 2, fördubblar vektorn längd. Om vi har ett reellt tal \( \lambda \in \mathbb{R}\) och multiplicerar det med en vektor betecknar vi det naturligt med \( \lambda \bar v\). Om \( \lambda\) är negativt, så kommer vektorn att vända på sig, och peka åt det motsatta hållet. Det gäller att

\( |\lambda \bar v| = |\lambda|| \bar v| \ .\)

vektmtal

Vektoraddition och subtraktion

Vektoraddition defineras geometriskt. Om vi har två vektorer \( \bar a\) och \( \bar b\), så defineras deras summa \( \bar a + \bar b\) genom att man sätter stjärten av \( \bar b\) vid tippen av \( \bar a\), som figuren nedan visar

vektadd

Vektorsubtraktion defineras snarlikt. Den betecknas \( \bar a-\bar b\), och defineras geometriskt som följande figur visar

vektsub

Räkneregler

Vektorer är snälla, och kan nästan behandlas som vanliga reella tal. Följande räkneregler gäller för vektorer

  • \((\bar a+\bar b)+\bar c =\bar a + (\bar b +\bar c)\)
  • \(\bar a +\bar b =\bar b +\bar a\)
  • \(\bar a +\bar 0 =\bar a\)
  • \(\bar a +\bar b =\bar c \ \Leftrightarrow \ \bar a =\bar c -\bar b\)
  • \(1 \cdot\bar a =\bar a\)
  • \(\lambda (\mu \bar a) = (\lambda \mu) \bar a\)
  • \((\lambda + \mu) \bar a = \lambda \bar a + \mu \bar a\)
  • \(\lambda(\bar a + \bar b) = \lambda \bar a + \lambda \bar b\)

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 31 maj 2012. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Kommentarer är stängda