Skalärprodukt

Skalärprodukt

Skalärprodukten är en operation som tar två vektorer \(\bar u\) och \(\bar v\) och ger ett tal som betecknas \(\bar u \small \bullet \large \bar v\). Därav namnet skalärprodukt, eftersom man får en skalär när man använder skalärprodukten på två vektorer. Skalärprodukten är en operation som på något vis sammanfattar längder och vinklar för vektorerna. Man kan löst säga att den beskriver hur mycket av en vektor, som ligger på en annan.

Definition

Skalärprodukten defineras genom

\(\bar u \small\bullet \large \bar v = |\bar u||\bar v| \cos(\theta) \ ,\)

där \(\theta\) är vinkeln mellan vektorerna. Det gäller att \(\theta \in [0,\pi]\)

Observationer från skalärprodukten

Man kan göra olika observationer utifrån skalärprodukten. När är \(\bar u \small \bullet \large \bar v = 0\)? Jo, det är precis när \(\cos(\theta) = 0\), om vi antar att ingen av vektorerna är nollvektorn. Detta gäller då \(\theta = \frac{\pi}{2}\), vilket är precis då \(\bar u \perp \bar v\), dvs då \(\bar u\) och \(\bar v\) är vinkelräta! Man kan fråga samma sak, fast kolla när \(\bar u \small \bullet \large \bar v > 0\). Detta gäller då \(\theta \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right)\). Med samma resonemang gäller \(\bar u \small \bullet \large \bar v < 0\) då \(\theta \in \left(\frac{\pi}{2},\pi\right]\).

Längd av en vektor och vinkeln mellan vektorer utifrån skalärprodukten

Om man beräknar skalärprodukten mellan en vektor och sig själv, så ger det

\(\bar u \small \bullet \large \bar u = |\bar u||\bar u|\cos(0) = |\bar u|^2 \ \Leftrightarrow \ |\bar u| = \sqrt{\bar u \small \bullet \large \bar u} \ .\)

Vinkeln mellan två vektorer får man ut på liknande sätt. Man får den genom att helt enkelt lösa ut vinkeln ur ekvationen.

\(\bar u \small \bullet \large \bar v = |\bar u||\bar v|\cos(\theta) \ \Leftrightarrow \ \cos(\theta) = \frac{\bar u \small \bullet \large \bar v}{|\bar u||\bar v|} = \frac{\bar u \small \bullet \large \bar v}{\sqrt{\bar u \small \bullet \large \bar u}\sqrt{\bar v \small \bullet \large \bar v}} \ .\)

Vinkeln \(\theta\) får man genom att ta inversen av cosinus i båda led.

Räkneregler för skalärprodukten

Om vi kan beräkna skalärprodukten så kan vi beräkna

  1. Längd
  2. Vinklar
  3. Komponenter/komposanter

Om vi har en ON-bas \(\underline{e}\), så kan man uttrycka skalärprodukten i koordinater. För det första så kan vi notera att

\(\begin{cases}\hat e_i \small \bullet \large \hat e_j = 0 & i \neq j \\ \hat e_i \small \bullet \large \hat e_i = |\hat e_i|^2 = 1\end{cases} \ .\)

Om vi sedan skriver ut vektorerna med deras koordinater, så deklarerar vi vektorerna

\(\bar u = u_1 \hat e_1 + u_2 \hat e_2 + u_3 \hat e_3 = \sum_{i=1}^3 u_i \hat e_i\)
\(\bar v = v_1 \hat e_1 + v_2 \hat e_2 + v_3 \hat e_3 = \sum_{i=1}^3 v_i \hat e_i \ .\)

Vi kan nu beräkna dess skalärprodukt genom att skriva

\(\bar u \small \bullet \large \bar v = (u_1 \hat e_1 + u_2 \hat e_2 + u_3 \hat e_3)\small \bullet \large (v_1 \hat e_1 + v_2 \hat e_2 + v_3 \hat e_3) \ .\)

Vi kan också utnyttja att skalärprodukten uppfyller räkneregler som säger att vi kan multiplicera ihop parenteserna, som om det vore en vanlig multiplikation. Vi får då att det blir något i stil med

\((u_1 \hat e_1 + u_2 \hat e_2 + u_3 \hat e_3)\small \bullet \large (v_1 \hat e_1 + v_2 \hat e_2 + v_3 \hat e_3) = u_1v_1(\hat e_1 \small \bullet \large \hat e_1)+u_1v_2(\hat e_1 \small \bullet \large \hat e_2)+\ldots \\ \ldots+u_3v_2(\hat e_3 \small \bullet \large \hat e_2)+u_3v_3(\hat e_3 \small \bullet \large \hat e_3) \ .\)

På grund av likheten ovan gällande skalärprodukt mellan enhetsvektorer, så kan detta förenkls ner, så det enda som är kvar är

\(u_1v_1 + u_2v_2+u_3v_3 \ ,\)

vilket är väldigt snyggt. Det vi nu har, är två uttryck för skalärprodukten. Nämligen

\(\bar u \small \bullet \large \bar v = |\bar u||\bar v|\cos(\theta) = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\ .\)

Det är på detta sättet man beräknar skalärprodukter i praktiken, dvs med koordinatformeln.

Skalärprodukten uppfyller även följande två räkneregler

  1. \(\bar u \small \bullet \large \bar v =\bar v \small \bullet \large \bar u\) (kommutativitet)
  2. \(\bar w(\bar u + \bar v) = (\bar v + \bar u)\bar w = \bar u \small \bullet \large \bar w+\bar v \small \bullet \large \bar w\) (distributivitet)

Övningar

1SvarLösning
Beräkna skalärprodukten mellan vektorerna \(\bar a = \underline{e}\begin{pmatrix}-2 \\ 25 \\ 4\end{pmatrix}\) och \(\bar b = \underline{e}\begin{pmatrix}6 \\ 2 \\ -4\end{pmatrix}\).
\(\bar a \small \bullet \large \bar b = 22\)
Vi använder koordinatversionen av skalärprodukten, och får direkt att

\(\bar a \small \bullet \large \bar b = (-2)\cdot 6 + 25 \cdot 2 + 4 \cdot (-4) = -12+50-16 = 22 \ .\)

2SvarLösning
Beräkna vinkeln mellan vektorerna \(\bar u = \underline{e} \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}\) och \(\bar v = \underline{e}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 3\end{pmatrix}\).
\(\theta \approx 79.1^\circ\)
Vi beräknar längderna av vektorerna och använder formeln \(\bar u \small \bullet \large \bar v = |\bar u||\bar v|\cos(\theta) = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\). Vi får

\(|\bar u|^2 = \bar u \small \bullet \large \bar u = 1^2 + (-1)^2 + 0^2 = 2 \ \Rightarrow \ |\bar u| = \sqrt{2}\)
\(|\bar v|^2 =\bar v \small \bullet \large \bar v = 2^2+1^2+3^2 = 14 \ \Rightarrow \ |\bar v| = \sqrt{14} \ .\)

Nu har vi

\(\cos(\theta) = \frac{\bar u \small \bullet \large \bar v}{|\bar u||\bar v|} = \frac{1\cdot 2 +(-1)\cdot 1 + 0 \cdot 3}{\sqrt{2}\sqrt{14}} = \frac{1}{\sqrt{28}} = \frac{1}{2\sqrt{7}} \ .\)

Vi får då att vinkeln mellan vektorerna är

\(\theta = \arccos\left(\frac{1}{2\sqrt{7}}\right) \approx 79.1^\circ\)

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 19 juni 2012. Senast uppdaterad 17 januari 2017.

Comments are closed