Räta linjer

Räta linjens ekvation på parameterform

Ett val av origo ger oss möjligheten att representera en punkt \(P\) med en ortsvektor \(\bar r_p\). Om vi sedan tar en godtycklig punkt \(X\), så kan vi ansluta punkterna med varandra genom en vektor \(\bar v\), som följande figur visar

linjepunkt

Vi noterar att \(\bar r_x = \bar r_p + \bar v\). Om vi väljer en annan punkt på samma linje, som \(P\) och \(X\) ligger på, så kan vi bara lägga till en multipel till \(\bar v\). Vi kan beskriva alla punkter på linjen i figuren med hjälp av räta linjens ekvation på parameterform

\(\bar r_x = \bar r_p + t \cdot \bar v, \ t \in \mathbb{R} \ .\)

Vi kan tänka på denna formel som att en partikel börjar färdas från punkten \(P\) mot punkten \(X\) i en rät linje, med "hastigheten" \(\bar v\), och att vi vill veta positionen av partikeln efter en tid \(t\) har förflutit.

Uttryckt i koordinater

Om vi uttrycker vektorerna \(\bar r_x\), \(\bar r_p\) och \(\bar v\) med deras koordinatmatriser \(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}p_1 \\ p_2 \\ p_3\end{pmatrix}\) och \(\begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{pmatrix}\), så fås

\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p_1 \\ p_2 \\ p_3\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{pmatrix} \ .\)

Räta linjer på affin form

I planet kan en rät linje på affin form, skrivas som

\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}v_1 \\ v_2\end{pmatrix} \ .\)

Detta är i själva verket två ekvationer, nämligen

\(\begin{cases}x_1 = a_1 + t v_1 & (1) \\ x_2 = a_2 + tv_2 & (1)\end{cases} \ .\)

Vårat mål är att försöka få bort \(t\) ur dessa ekvationer och endast skriva det som en ekvation som endast beror av \(x_1\) och \(x_2\). Eliminera \(t\) ur dessa ekvationer genom att lösa ut det ur (1). Vi får \(t = \frac{x_1-a_1}{v_1}\). Om vi sätter in det i (2) så fås

\(x_2 = a_2 + \frac{v_2}{v_1}(x_1-a_1) \ \Leftrightarrow \ v_1x_2 = v_1a_2+v_2x_1-v_2a_1 \ \Leftrightarrow \ v_2x_1-v_1x_2 = v_2a_1-v_1a_2 \ ,\)

eftersom nu \(v_1\), \(v_2\)\(a_1\), \(a_2\) är fixa tal, och inte variabler, så kan vi skriva \(v_2 = a\) och \(-v_1 = b\) samt \(v_2a_1-v_1a_2 = c\). Detta ger

\(ax_1+bx_2 = c \ .\)

Detta är räta linjens ekvation på affin form. Vi har ingen parameter! Den ekvationen beskriver en mängd av punkter som råkar forma en rät linje. Tänket med en partikel som färdas längs med en linje med "hastigheten" \(\bar v\) försvinner eftersom vi inte har någon parameter längre.

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 18 juni 2012. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Comments are closed