Projektion

Projektionen

Vi ska nu tillämpa skalärprodukten genom att använda det för att beräkna en såkallad projektion. Vi gör antagandet att vektorn \(\bar v\) är en enhetsvektor.

proj1

Nu kan vi beräkna att komposanten i \(\bar v\) av \(\bar u\) är \(|\bar u|\cos(\theta)\), om vi använder elementär trigonometri. Denna komposant är storleken av projektionen av \(\bar u\)\(\bar v\). Men eftersom \(\bar v\) är en enhetsvektor så är längden 1, och projektionen är lika med

\(|\bar u|\cos(\theta) = |\bar u||\bar v|\cos(\theta) = \bar u \small \bullet \large \bar v \ .\)

Men det är ju skalärprodukten! Smidigt. Storleken av projektionen (komposanten är ingen vektor) är alltså lika med skalärprodukten av vektorerna (kom ihåg att \(\bar v\) är en enhetsvektor). Så måste alltså

\(|\mathrm{proj}_{\bar v}(\bar u)| = \bar u \small \bullet \large \bar v \ .\)

Om vi vill ta reda på vektorn \(\mathrm{proj}_{\bar v}(\bar u)\) så måste vi ta reda på dess riktning på något sätt. Eftersom den pekar i samma riktning som \(\bar v\) så ska man multiplicera med \(\bar v\) så får man samma rikning, och därmed en vektor! Alltså är

\(\mathrm{proj}_{\bar v}(\bar u) = (\bar u \small \bullet \large \bar v)\bar v \ .\)

Notera att det är en vanlig multiplikation mellan parentesen och \(\bar v\) eftersom \(\bar u \small \bullet \large \bar v\) är en skalär. Men detta samband gäller endast om \(\bar v\) är en enhetsvektor.

Det mer allmänna fallet

Om nu \(\bar v\) inte är en enhetsvektor, så måste vi normera den genom att dela vektorn med sin egen längd. Om vi gör det, så får vi en vektor som har längd 1. Vektorn \(\frac{\bar v}{|\bar v|}\) är alltid en vektor som är parallell med \(\bar v\) och har längd 1. Vi säger att vi har normerat vektorn \(\bar v\). Så projektionen av \(\bar u\) på \(\bar v\) fås mer allmänt då av projektionsformeln

\(\mathrm{proj}_{\bar v}(\bar u) = (|\bar u|\cos(\theta))\frac{\bar v}{|\bar v|} = \frac{|\bar u||\bar v|\cos(\theta)}{|\bar v|^2}\bar v = \frac{\bar u \small \bullet \large \bar v}{|\bar v|^2} = \frac{\bar u \small \bullet \large \bar v}{\bar v \small \bullet \large \bar v}\bar v \ .\)

 Nu kan \(\bar u\) och \(\bar v\) vara vilka två vektorer som helst. Ur figuren ovan fås att \((\bar u - \mathrm{proj}_{\bar v}(\bar u)) \perp \bar v\).

Övning

1LösningSvar
Beräkna projektionen av vektorn \(\bar u = \begin{pmatrix}1 \\ 8 \\ 4\end{pmatrix}\) på vektorn \(\bar n = \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\)
Använder vi projektionsformeln så får vi

\(\mathrm{proj}_{\bar n}(\bar u) = \frac{\bar u \small \bullet \large \bar n}{|\bar n|^2}\bar n = \frac{1-8+4}{1^2+(-1)^2+1^2}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix} \ .\)

\(\mathrm{proj}_{\bar n}(\bar u) = -\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix} \ .\)

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 26 juni 2012. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Comments are closed