Baser och koordinater

Baser

En bas är (kort förklarat), i planet, två ortsvektorer som inte är parallella, och som man kan skapa alla andra vektorer med.

bas

I figuren ovan så ser man att man kan uttrycka vektorn \(\bar a\) uttryckt i vektorerna \(\hat e_1\) och \(\hat e_2\), som man ofta brukar beteckna basvektorer med. Faktum är att man skulle kunna uttrycka vilken vektor som helst i planet med hjälp av \(\hat e_1\) och \(\hat e_2\). I figuren ses att

\(\bar a = x_1 \hat e_1 + x_2 \hat e_2 \ .\)

Man brukar säga att \(\bar a\) kan uttryckas som en linjärkombination av basvektorerna \(\hat e_1\) och \(\hat e_2\). Vi kallar \(x_1\) och \(x_2\) för koordinaterna för \(\bar a\) i den givna basen. Notera att vi kunde valt en annan bas än den i figuren. \(\hat e_1\) och \(\hat e_2\) måste inte vara vinkelräta. Huvudsaken är att de inte är parallella.

Så koordinater är ett begrepp man inte kan tala om förän man först har valt ett origo, och valt en bas. Man brukar ofta välja sin bas så att basvektorerna är vinkelräta, och har längd 1. Om basen är sådan, kallas den för en ortonormerad (ON-bas) bas.

Rad- och kolonnvektorer

När man uttrycker vektorer i termer av koordinater i en given bas, så blir det tröttsamt och jobbigt att skriva ut

\(\bar a = x_1 \hat e_1 + x_2 \hat e_2 \ ,\)

hela tiden, så man använder istället rad - och kolonnvektorer. Man kan skriva om det ovanstående uttrycket som

\((\hat e_1 \ \hat e_2) \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix} = \underline e \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}\ .\)

Symbolen \(\underline e\) betecknar i detta fallet att det är basen som betecknas med \(\hat e_1\), \(\hat e_2\) osv, som är aktuell. Om det är underförstått vilken bas det handlar om, så kan man beskriva en vektor med hjälp av dess kolonnvektor innehållande dess koordinater,

\(\bar a = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix} \ .\)

Men notera att vektorn i sig inte är lika med dess koordinater. Koordinaterna för en vektor bestämmer den unikt, men vektorn i sig är ju i grund och botten en riktad sträcka. Räkneoperationer för vektorer avspeglas direkt på deras koordinater. T.ex. gäller

\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x_1+y_1 \\ x_2+y_2\end{pmatrix}\)

\(\mu\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mu x_1\\ \mu x_2\end{pmatrix} \ .\)

Detta gäller för att

\((x_1\hat e_1+x_2\hat e_2)+(y_1\hat e_1+y_2\hat e_2) =(x_1+y_1)\hat e_1+(x_2+y_2)\hat e_2 \ ,\)

och samma anledning för den andra räkneregeln.

I tre dimensioner fungerar baser och koordinater på samma sätt, fast för basen måste vektorerna inte bara vara icke-parallella utan de kan alla inte ligga i samma plan.


Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 12 juni 2012. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Kommentarer är stängda