Kontinuitet

Alla funktioner som man stöter på, på denna nivå, och har stött på hittils är vad man kallar kontinuerliga. Vi begränsar oss nästan alltid till kontinuerliga funktioner.

Definition

Låt \(I\) vara ett intervall och \(f\) en funktion. Om det för varje \(a \in I\) gäller att \(\lim_{x\to a}f(x) = f(a)\) så säger vi att funktionen är kontinuerlig på intervallet \(I\).

Man kan tänka på kontinuerliga funktioner som alla funktioner som är sammanhängande och inte har några hopp eller osammanhängningar. Det kanske är lättare att ge exempel på funktioner som inte är kontinuerliga, så vi gör det.hoppdk.

Figuren ovan visar en funktion som inte är kontinuerlig i \(x = 2\). Det finns en såkallad språngdiskontinuitet pga "språnget" som funktionen gör där. Den är inte kontinuerlig i den punkten eftersom \(\lim_{x\to 2} f(x)\) inte existerar. Man får olika värden beroende på om man går mot 2 från höger eller från vänster längs funktionen.

remdk

I denna figur kan man notera att gränsvärdet \(\lim_{x\to 2}f(x)\) nu existerar, men det är inte lika med \(f(2)\)\(\lim_{x\to 2}f(x) = 1\) medan \(f(2) = \frac{3}{2}\). Denna diskontinutet kallas för en borttagningsbar diskontinuitet (removable discontinuity på engelska).

Alla elementära funktioner, dvs polynom, rationella funktioner, potensfunktioner, exponentialfunktioner, trigonometriska funktioner och logaritmfunktioner är alla kontinuerliga! Vi avslutar med två viktiga satser som har med kontinuerliga funktioner att göra.

Sats (Satsen om mellanliggande värden)

Låt funktionen \(f : [a,b] \longrightarrow \mathbb{R}\) vara kontinuerlig. Om \(f(a) \neq f(b)\) så antar \(f\) varje värde mellan \(f(a)\) och \(f(b)\) någonstans på intervallet \((a,b)\).

Exempel

Visa att funktionen \(f(x) = x^3+x-1\) har ett nollställe någonstans på intervallet \([0,1]\).

Lösning

Vi kan notera att \(f(0) = -1\) och \(f(1) = 1\). Eftersom \(f\) är ett polynom, som är kontinuerlig, så kan vi dra slutsatsen, enligt satsen om mellanliggnade värden att det måste finnas ett \(a \in (0,1)\) så att \(f(a) = 0\) eftersom 0 ligger mellan -1 och 1. Funktionen måste korsa x-axeln någonstans eftersom den är kontinuerlig (och alltså är dess graf sammanhängande!).

Sats (Max-min satsen)

Låt \([a,b]\) vara ett kompakt intervall (ett kompakt intervall är ett intervall som är slutet (\(a\) och \(b\) ingår i intervallet) och begränsat (\(a\) och \(b\) är inte \(\pm \infty\))) och betrakta funktionen \(f: [a,b] \longrightarrow \mathbb{R}\). Då finns ett \(x_{\mathrm{max}} \in [a,b]\) så att \(f(x_{\mathrm{max}}) \geq f(x)\) för alla \(x \in [a,b]\). Det finns också ett \(x_{\mathrm{min}} \in [a,b]\) så att \(f(x_{\mathrm{min}}) \leq f(x)\) för alla \(x \in [a,b]\). \(x_{\mathrm{max}}\) kallas för (globalt) maximipunkt och \(f(x_{\mathrm{max}})\) kallas för (globalt) maximum av \(f\) på \([a,b]\).

Övning

ÖvningsuppgiftSvarLösning
Betrakta funktionen

\(f(x) = \begin{cases}x^2 & x < 1 \\ a & x = 1 \\ 1-(x-1)^2 & x > 1\end{cases} \ .\)

Bestäm \(a\) så att \(f\) är kontinuerlig i \(x = 1\).

\(a = 1\)

Utifrån definitionen av kontinuitet så måste det gälla att \(\lim_{x\to 1}f(x) = f(1) = a\). Om gränsvärdet ska existera så måste det vara samma oavsett om det är höger- eller vänstergränsvärdet vi beräknar. Vi beräknar dessa.

\(\lim_{x\to 1^-} f(x) = \lim_{x\to 1^-} x^2 = 1\)

\(\lim_{x\to 1^+} f(x) = \lim_{x\to 1^+} 1-(x-1)^2 = 1 \ .\)

Så om \(f\) ska vara kontinuerlig i \(x = 1\) så måste \(a = 1\).


Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 23 juli 2012. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Kommentarer är stängda