Introduktion till funktioner

Funktioner är ett matematiskt objekt som kan ses som en "regel" som associerar tal med andra tal. Vi har hittills ofta betecknat funktioner som \(f(x) = x^2\), och vi är förhoppningsvis bekväma att använda dem. Men vad är egentligen definitionen av en funktion. Det finns även fler, och mer allmänna sätt att beteckna funktionen på. Vi har här ovan t.ex. inte definierat någon "definitionsmängd", "målmängd" eller "värdemängd" till funktionen.

Det kommer i fortsättningen bli lite högre nivå på artiklarna, och fler logiska symboler kommer användas. Det kommer inom kort en artikel som handlar om terminologi, och beteckningar.

Definition

En funktion är en regel som associerar varje tal \(x \in D\) med ett enda tal \(f(x) \in M\), och detta betecknas \(f: D \longrightarrow M\)\(D\) kallas för definitionsmängden och \( M\) för målmängden.

Värdemängd är inte samma sak som målmängden. Värdemängden är alla värden som antas av funktionen, och värdemängden är en delmängd till målmängden. Ett exempel på en funktion är

\(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \ f(x) = x^2 \ .\)

Trots att målmängden är hela \( \mathbb{R}\) så nås inte alla tal. Det finns t.ex. inget tal i definitionsmängden som ger \(f(x) = -1\). Värdemängden är "bara" \(\mathbb{R}_+\) (som är en delmängd till \(\mathbb{R}\)).

Fler exempel på funktioner är

\(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \ f(x) = \begin{cases}0 & x \not\in \mathbb{Q} \\ 1 & x \in \mathbb{Q}\end{cases}\)
\(f : \mathbb{R} \setminus \{0\} \longrightarrow \mathbb{R}, \ f(x) = \frac{1}{x}\)

 Här betyder \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) "alla reella tal utom 0". Vi är ofta rätt slarviga, och orkar inte skriva ut \(f: D \longrightarrow M\) varje gång vi refererar till en funktion. Ofta är det alltid underförstått att \(M = \mathbb{R}\) och att \( D\) är den största möjliga definitionsmängden.

Planet får nu ett stort användsområde. Vi kan rita grafer till funktioner. Grafen till en funktion defineras som en mängd av punkter, och kan skrivas som

\(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ y = f(x)\} \ .\)

Vi kallar \( \mathbb{R}^2\) för planet. Nedan är en bild på grafen till funktionen \( f(x) = \cos(x)\) cosx

Jämna och udda funktioner

Definition

En funktion kallas för jämn om den har samma värde i \( x\) och \( -x\). Det vill säga att \( f(x) = f(-x)\).

Exempel på jämna funktioner är

\( f(x) = x^2\)
\( f(x) = \cos(x)\)
\( f(x) = |x|\)

Definition

En funktion kallas udda om den har samma värde, fast med omvänt tecken i \( x\) och \( -x\). Dvs att \( -f(x) = f(-x)\).

Exempel på udda funktioner är

\( f(x) = x^3\)
\( f(x) = \sin(x)\)
\( f(x) = \tan(x)\)

Sats

Några grundläggande räkneregler summerar jag i en sats. Det gäller att

  • Summan av en udda och en jämn funktion är ofta ingetdera.
  • Summan av två jämna eller två udda funktioner är jämn respektive udda.
  • Produkten av två jämna funktioner är jämn.
  • Produkten av två udda funktioner är jämn.
  • Produkten av en udda och en jämn funktion är udda.

Sammansättning av funktioner

Om vi tänker på en funktion som en "svart låda" som man skickar in ett tal i, och får ut ett annat, så kan en sammansättning tänkas på som att du skickar in ett tal i en svart låda, som åker ut, och lika fort in igen i en annan svart låda, och kommer ut. Man applicerar två olika funktioner på ett och samma tal i en sammansättning. Det kan illustreras som

gof

Definition

En sammansättning av två funktioner defineras som

\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \ .\)

Det finns inte speciellt mycket att säga om sammansättningar av funktioner i detta stadie. Ett exempel är att om \( f(x) = \tan(x)\) och \( g(x) = x^2+1\), så är

\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2+1) = \tan(x^2+1)\)
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(\tan(x)) = (\tan(x))^2+1 \ .\)


Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 3 juni 2012. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Kommentarer är stängda