Standardgränsvärden

Det finns några gränsvärden man bör lägga på minnet, och kunna utantill. Dessa gränsvärden kallas standardgränsvärden. Man kan reducera och förenkla ner en hel del gränsvärden, så man bara behöver använda sig av standardgränsvärden, vilket underlättar. Standardgränsvärdena (som jag anser vara viktigast) är de som följer

  • \( \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\)
  • \( \lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1\)
  • \( \lim_{x\to \infty} \frac{x^{\alpha}}{a^x} = 0\)
  • \( \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1\)

Jag presenterar inga bevis för dessa nu, även om jag tänker utveckla och motivera det tredje gränsvärdet, eftersom det är mest ett principiellt gränsvärde och har en betydelse.

Tillväxthastigheter

Det är kanske inte uppenbart för alla, men en exponentialfunktion, som är en funktion på formen \( a^x\), växer mycket snabbare än en potensfunktion, \( x^{\alpha}\). Det kan man förvissa sig enkelt om, genom att plotta några grafer av båda typer.

potvsexp

Man ser tydligt i figuren ovan att exponentialfunktionerna sticker upp, och växer otroligt snabbt. En motivation till gränsvärdet

\(\lim_{x\to \infty} \frac{x^{\alpha}}{a^x} = 0 \ ,\)

är att alla (oberoende av \( a\)) exponentialfunktioner växer snabbare än alla potensfunktioner (oberoende av \( \alpha\)). Detta innebär att eftersom nämnaren växer så otroligt mycket snabbare, så kommer exponentialfunktionen i nämnaren vara "oändligt mycket" större i gränsen (då \( x\to \infty\)), så att gränsvärdet är lika med 0 likt \( \lim_{x\to \infty} \frac 1x = 0\).

 

Med detta sagt, så vill jag introducera logaritmer i smeten också. Logaritmer är inverser till exponentialfunktioner, och växer då analogt långsammare än alla potensfunktioner. Så det gäller även att

\( \lim_{x\to \infty} \frac{\ln(x)}{x^{\alpha}} = 0 \ ,\)

på grund av samma anledning som innan med fallet potens-exponential. Följande diagram visar tillväxthastigheterna

\( \log < \mathrm{potens} < \mathrm{exponential} \ .\)

Exempel

Beräkna gränsvärdet

\(\lim_{x\to \infty}\frac{e^x+x^2}{2e^{x}+2^x} \ .\)

Lösning

Man kan behandla detta gränsvärde nästan som vanliga gränsvärden med polynom. Dvs genom att dela täljare och nämnare med den dominerande faktorn, som i detta fallet är \( e^x\) eftersom \( e \approx 2.71 > 2\), så \(e^x > 2^x, \ \forall x \geq 1\). Vi delar täljare och nämnare med \( e^x\) och får

\(\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{e^x+x^2}{e^x}}{\frac{2e^{x}+2^x}{e^x}} = \lim_{x\to \infty}\frac{\frac{e^x}{e^x}+\frac{x^2}{e^x}}{\frac{2e^{x}}{e^x}+\frac{2^x}{e^x}} = \lim_{x\to \infty}\frac{1+\frac{x^2}{e^x}}{2+\frac{2^x}{e^x}} = \frac{1+0}{2+0} = \frac{1}{2}\ .\)

Detta gäller eftersom vi nyss visade att \( e > 2\) gäller, så måste \( \lim_{x\to \infty} \frac{2^x}{e^x} = 0\) eftersom \( e^x\) växer snabbare än \( 2^x\). I täljaren så använder vi standardgränsvärdet vi nyss presenterade.

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 8 juni 2012. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Comments are closed