Gränsvärden i ändliga punkter

I den förra artikeln presenterades själva gränsvärdes konceptet, fast med gränsvärden i oändligheten, vilket är något lättare att inta när man först tittar på gränsvärden och dess definition. I denna artikel kommer den allmänna definitionen presenteras för gränsvärden i ändliga punkter \( x = a\).

Definition

Gränsvärdet av funktionen \( f\) då \( x\to a\) är lika med \(A\) om det för varje \( \varepsilon > 0\) finns ett \( \delta > 0\) så att

\( 0 < |x-a| < \delta \ \Rightarrow \ |f(x)-A| < \varepsilon \ .\)

I ord betyder denna definition att vi för alla avstånd \( \varepsilon\) ska kunna hitta ett till avstånd \( \delta\) som gör att \( x\) som mest är \( \delta\) ifrån \( a\), som med för att funktionsvärdet i denna punkt \(x\), har ett avstånd till \(A\) som är mindre än \( \varepsilon\)

grans

bilden ovan kan man tänka på för att visualisera fallet. Man ska kunna hitta ett \( \delta\) så att \( x\) befinner sig inom de streckade röda linjerna, så att funktionsvärdet hamnar inom de lilastreckade linjerna.

Ett knep man kan använda sig av, för att komma ihåg, och kanske förstå definitionen bättre är att tänka på det som ett spel. Om jag (spelvärden) ger dig ett tal \( \varepsilon\), så ska du hitta ett \( \delta\) så att ditt \( x\)-värde gör att funktionsvärdet hamnar tillräckligt nära \( A\).

Räkneregler

Samma räkneregler för gränsvärden i oändligheten gäller för gränsvärden i ändliga punkter.

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 8 juni 2012. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Comments are closed