Gränsvärden

Vi har tidigare studerat funktioner, och vet att en funktion \( f(t)\) exempelvis kan beskriva någon fysikalisk storhet, såsom fart eller temperatur vid tiden \( t\). Medelförändringen under ett intervall \( t\) till \( t+\Delta t\), är

\( \frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t} \ .\)

gv

Figuren visar medelförändringen mellan punkterna \( t\) och \( t + \Delta t\). Vi vill nu veta hur \( f\) förändras momentant vid tiden \( t\).

mom

När \( \Delta t \to 0\) verkar den röda linjen närma sig tangenten, som figuren ovan visar. Medelförändringshastigheten närmar sig den momentana förändringshastigheten då \( \Delta t \to 0\). Vi verkar alltså intresserade av beteendet hos \( \frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}\), då \( \Delta t \to 0\). Detta är svårt. Varför? För om vi bara sätter in \( \Delta t = 0\) så får man ett uttryck på formen \( \frac 00\), men detta är obegripligt, och beskriver ingenting. Vi är därför intresserade av att titta närmare på vad \( \Delta t \to 0\) verkligen betyder, och innebörden av gränsvärden.

Gränsvärden i oändligheten

Vi börjar med att titta på gränsvärden i oändligheten, för att det är lättare än att titta i en ändlig punkt \( x = a\). Det första vi vill notera och verkligen understryka, är att symbolen \( \infty\) är inte att leka med. Oändligheten är inte ett tal, och man bör hellre se det som ett begrepp, snarare. Man får vara försiktig när man håller på med oändligheter, eftersom de beter sig inte som objekt man är vana att se.

Ett viktigt gränsvärde är

\( \lim_{x\to \infty} \frac 1x \ .\)

Från tidigare kurser med derivata, så bör gränsvärdessymbolen kännas igen, och är ganska självförklarande. Lim kommer från latins limes (gräns).

1x

Med hjälp av figuren ovan så verkar det som att

\( \lim_{x \to \infty} \frac 1x = 0 \ .\)

Vilket också är fallet. Detta är inget bevis, utan bara en motivation till att gränsvärdet faktiskt är 0. Detta innebär att om man låter \( x\) växa obegränsat mycket, så kommer \( \frac 1x\) komma obegränsat nära 0. Funktionen man tar ett gränsvärde av behöver inte anta gränsvärdet, och det är väldigt fel att skriva \( \frac{1}{\infty} = 0\), eftersom (som jag anmärkte om ovan) \( \infty\) inte är ett tal.

Ett annat exempel är gränsvärdet \( \lim_{x \to \infty} \sin(x)\). Detta gränsvärde existerar inte, eftersom \( \sin(x)\) inte tenderar till att gå mot något tal när \( x\) växer obegränsat mycket. \( \sin(x)\) svänger bara fram och tillbaka och inget entydigt värde antas.

Med det första gränsvärdet i bagaget kan vi titta på, till exempel, gränsvärdet

\( \lim_{x\to \infty} \frac{x^2+2x+1}{2x^2+3} \ .\)

Vi noterar först att täljaren verkar vilja sticka iväg mot oändligheten, och nämnaren också, om vi "sätter in" \( \infty\) i uttrycket. Notera att detta bara är en tankeregel, och är inget som ska användas eller skrivas ner på papper. En metod för att beräkna detta gränsvärde är att dela täljare och nämnare med den högsta förekommande potensen, dvs \( x^2\). Då fås

\( \lim_{x\to\infty} \frac{x^2+2x+1}{2x^2+3} = \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{x^2+2x+1}{x^2}}{\frac{2x^2+3}{x^2}} = \lim_{x\to \infty} \frac{1+\frac 2x + \frac{1}{x^2}}{2+\frac{3}{x^2}} = \frac{1+0+0}{2+0} = \frac 12 \ ,\)

Enligt vårt ovanstående gränsvärde. Definitionen för gränsvärde är ganska svår att greppa till en början, och det är något man får acceptera och försöka greppa så gott det går.

Definition (Gränsvärden i oändligheten).

Om det för varje litet avstånd \( \varepsilon > 0\) finns det ett tal \( S\) så att

\( x > S \ \Rightarrow \ |f(x)-L| < \varepsilon \ ,\)

så sägs \( f\) ha gränsvärdet \( L\) då \( x\to \infty\).

liminf

Dvs \( f\) har gränsvärde \( L\), som betecknas \( \lim_{x\to \infty} f(x) = L\), om avståndet mellan \( f(x)\) och \( L\) (\(|f(x)-L|\)) kan göras hur litet som helst, bara \( x\) väljs tillräckligt stort.

Bortom \( x = S\) i figuren, så ligger \( y = f(x)\) inom den gröna strimman \( y = L\pm \varepsilon\).

Anmärkningar
  1. \( S = S(\varepsilon)\), dvs om \( \varepsilon\) är litet (dvs litet avstånd mellan \( f(x)\) och \( L\)), så måste \( S\) väljas stort.
  2. \( S\) i definitionen är vilket \( S\) som helst, som duger.

Exempel

\( f(x) = \frac{x+1}{x}\) har gränsvärdet 1 då \( x \to \infty\). Vi ser detta lätt genom att skriva

\( \frac{x+1}{x} = 1 + \frac{1}{x} \ \Longrightarrow \ 1+ 0 = 1\) då \( x\to \infty\).

Men att visa det utifrån definitionen är lite knepigare. Vi försöker!

Givet något \( \varepsilon > 0\) ska \( |f(x)-1|\) undersökas. Vi vill visa att vi kan välja \( x\) så stort så att avståndet mellan \( f(x)\) och 1 blir mindre än \( \varepsilon\).

\( |f(x)-1| = \left|\frac{x+1}{x}-1\right| = \left|\frac{1}{x}\right| = \frac 1x < \varepsilon \ ,\)

den sista likheten gäller eftersom \( x\) antas vara stort (alltså större än 0). Vi vill nu veta att detta är mindre än \( \varepsilon\). Vi skriver

\( \frac 1x < \varepsilon \ \Leftrightarrow \ x > \frac{1}{\varepsilon} \ .\)

Så i definitionen väljer vi \( S = S(\varepsilon) = \frac{1}{\varepsilon}\)! Detta visar att

\( \lim_{x\to \infty} f(x) = 1 \ ,\)

per definition.

Räkneregler för gränsvärden

Vi listar här räkneregler för gränsvärden. Den första räkneregeln återföljs av ett bevis, och ett exempel, resten lämnas öppna.

    1. Om \( f(x) \to 0\) då \( x \to \infty\), och om \( g(x)\) är begränsad (dvs \( |g(x)| < C\) för någon konstant \( C\) för alla \( x\)), så gäller \( \lim_{x\to \infty} f(x)g(x) = 0\)Bevis till denna räkneregel går ut på att vi vill visa att för varje \( \varepsilon > 0\) så gäller \( |f(x)g(x)-0| = |f(x)g(x)| < \varepsilon\), bara \( x\) är stort nog. Det finns för det första en konstant \( C \) så att \( |g(x)| < C\) (enligt definitionen av en begränsad funktion) om \( x \) är stort nog. Låt nu \( \varepsilon > 0\) vara givet. \( f\) har gränsvärde 0, å väljer vi \( x \) stort nog blir \(|f(x)-0| = |f(x)| < \frac{\varepsilon}{C}\). Vi har sedan \(|f(x)g(x)|=|f(x)||g(x)|< \frac{x}{C} \cdot C = \varepsilon\), vilket visar räkneregeln.

      Exempel. Ett exempel är \( \lim_{x\to \infty}\frac{\sin(x)}{x} = 0\) ty \( \frac 1x \to 0\) då \( x \to \infty\) och \(|\sin(x)| < 2\) (vi kan inte skriva \(|\sin(x)| < 1\) pga den strikta olikheten).

    2. Om \( \lim_{x \to \infty} f(x) = A\) och \( \lim_{x\to \infty} g(x) = B\) så är \( \lim_{x\to \infty} f(x)+g(x) = A+B\).
    3. Om \( \lim_{x \to \infty} f(x) = A\) och \( \lim_{x\to \infty} g(x) = B\) så är \( \lim_{x\to \infty} f(x)g(x) = AB\).
    4. Om \( \lim_{x \to \infty} f(x) = A\) och \( \lim_{x\to \infty} g(x) = B\) så är \( \lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac AB\).
    5. Om \( f(x) \leq h(x) \leq g(x)\) och \(\lim_{x\to \infty} f(x) = \lim_{x\to \infty} g(x) = A\) så implicerar det att \(\lim_{x\to \infty} h(x) = A\). Detta kallas för instängningssatsen (eller the squeeze theorem)
    6. Om \( f(x) \leq g(x)\), så är \( \lim_{x\to \infty} f(x) \leq \lim_{x\to \infty} g(x)\)

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 6 juni 2012. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Kommentarer är stängda