Summa- och produktsymbolerna

En summa som

\( 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10, \\)

kan vara ganska jobbig att skriva ut. Då kan man klippa av en bit i mitten och ersätta det med tre punkter, eftersom mönstret för summan är uppenbart

\( 1+2+3+4+...+9+10 \ .\)

Men det finns ett ännu enklare sätt att skriva summor med hjälp av summaoperatorn, som betecknas med versalen av den grekiska bokstaven sigma, \( \sum\).

\(\sum_{i=1}^{10} i = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10\)

där \( i\) kallas för index. Indexet är alltid positiva heltal. Man kan välja vilken bokstav man vill som index. Tre andra exempel på summor skrivna med summaoperatorn är

\(\sum_{k=2}^5 2k+1 = (2\cdot 2 + 1) + (2 \cdot 3 + 1) + (2 \cdot 4 + 1) + (2 \cdot 5+1) = 5+7+9+11 = 32 \\ \sum_{j=7}^9 j^2 = 7^2+8^2+9^2 \\ \sum_{i = 1}^n x_i = x_1+x_2+x_3+...+x_{n-1}+x_n \ .\)

För varje term så ökar indexet med 1. Mönstret syns nog tydligt. Två enkla räkneregler när det gäller summor är

\(\sum_{i = m}^n f(i) \pm \sum_{i = m}^n g(i) = \sum_{i = m}^n \left[f(i) \pm g(i)\right] \\ \sum_{k= m}^n c \cdot k = c \cdot \sum_{k= m}^n k,\)

där \( c\) är en konstant.

 

Produkter

På samma sätt som det finns en summaoperator finns det en produktoperator, fast denna betecknas med versalen av den grekiska bokstaven pi, \( \prod\).

\(\prod_{i=1}^5 i = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \\ \prod_{k=4}^7 \frac{k+1}{k-2} = \frac{5}{2}\cdot \frac{6}{3}\cdot \frac{7}{4}\cdot \frac{8}{5}\)

Tre enkla räkneregler när det gäller produkter är

\(\prod_{i = m}^n f(i) \cdot \prod_{i = m}^n g(i) = \prod_{i = m}^n \left[f(i) \cdot g(i)\right] \\ \ \left[\prod_{i=m}^n f(i)\right] / \left[\prod_{i=m}^n g(i)\right] = \prod_{i=m}^n \frac{f(i)}{g(i)}\\ \prod_{k= m}^n c \cdot k = c^{n-m+1} \cdot \prod_{k= m}^n k, \ \)

där \( n-m+1\) är antalet faktorer i produkten och \( c\) en konstant.

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 1 januari 2011. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Comments are closed