Fakultet

Fakultet är en funktion inom matematiken som är definerad som 

\( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ \ldots \ \cdot (n-1) \cdot n \ .\)

Detta leder till att t.ex 

\( 1! = 1 \\ 2! = 1 \cdot 2 = 2 \\ 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 \\ 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 3! \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24 \\ 5! = 4! \cdot 5 = 24 \cdot 5 = 120 \\ \vdots\)

Då kan vi utskilja ett mönster. Vi kan då skriva fakulteten rekursivt som 

\( n! = n \cdot (n-1)! \ .\)

Man gör även definitionen \( 0! = 1\). Då är fakultetsfunktionen därför definerad för alla positiva heltal och noll.

 

Användningsområde

Fakultetsfunktionen ses som en av de viktigaste funktionerna inom kombinatoriken. Den dyker upp i binomialkoefficienten, \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), som har sina rötter ur kombinatoriken. Fakultetsfunktionen är grund för den s.k. gammafunktionen, som är en komplicerad funktion som används bl.a. för att beräkna integraler. Gammafunktionen räknas således till en av de viktigaste speciella funktionerna.

I övrigt dyker fakultetsfunktionen upp lite varstans inom matematiken. Ofta i gränsvärden, summor och taylorutvecklingar (som är summor). Talet e kan skrivas som en summa som innehåller fakultetsfunktionen. Fakultetsfunktionen används flitigt inom sannolikhetsläran också.

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 12 januari 2011. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Comments are closed