Binomialsatsen

Alla är nog bekanta med kvadrerings- och kuberingsregeln som är regler som beskriver hur man utvecklar \( (a+b)^2\) och \( (a+b)^3\). Men finns det någon regel som förklarar hur man utvecklar \( (a+b)^4\), \( (a+b)^5\), \( (a+b)^8\), \( (a+b)^{22}\) eller \( (a+b)^n\)? (\( n\) är ett positivt heltal).

Svaret är ja. Det finns en sats som säger hur man utvecklar \( (a+b)^n\) för alla positiva heltal \( n\). Den satsen kallas binomialsatsen.

\((a+b)^n = \sum_{k = 0}^n {n\choose k} a^{n-k}\cdot b^k \ .\)

Denna artikel fokuserar på att ge läsaren lite intuition om hur binomialsatsen fungerar och uppmärksammar om att en sådan finns. Mer ingående om binomialsatsen, binomialkoefficienter och kanske en bevis får bli ett framtida projekt. Binomialsatsen kan bevisas med hjälp av matematisk induktion.

I början kan denna se väldigt komplicerad och konstig ut, men vi kan bryta ned det i mindre delar. \( {n\choose k}\) kallas för binomialkoefficient och används väldigt mycket inom kombinatorik. En annan tolkning av uttrycket är att \( {n\choose k}\) är antalet sätt man kan välja \( k\) element ur en mängd med \( n\) element. Men i denna artikel kan vi endast tänka på det som en konstant. Här kan man läsa om hur summasymbolen (\( \sum\)) fungerar.

 

Mönstret och två exempel

Om vi tittar på utvecklarna av \( (a+b)^2\) och \( (a+b)^3\) så ser vi att \( a\)-termen börjar med en hög exponent, men den sjunker sedan i samma takt som exponenten för \( b\) ökar.

\( (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 = a^2\cdot b^0 + 2 \cdot a^1 \cdot b^1 + a^0 \cdot b^2,\)

och likadant med ett binom i kub

\( (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 = a^3 \cdot b^0 +3 \cdot a^2 \cdot b^1 + 3 \cdot a^1 \cdot b^2 + a^0 \cdot b^3 \ .\)

Man kan också notera att koefficienten för de termer med högst exponent, är 1. Med hjälp av detta mönster kan vi göra en skiss på hur utvecklingen av \( (a+b)^4\) ungefär kan se ut.

\( (a+b)^4 = a^4+c_1a^3b+c_2a^2b^2+c_3ab^3+b^4,\)

där \( c_1,\ c_2,\ c_3\) är några okända konstanter. Det gör att vi kan skriva utvecklingen av \( (a+b)^n\) som

\((a+b)^n = a^n+c_1\cdot a^{n-1}\cdot b+c_2\cdot a^{n-2}\cdot b^2+c_3\cdot a^{n-3}\cdot b^3+... \\ ...+c_{n-2}\cdot a^2\cdot b^{n-2} + c_{n-1}\cdot a\cdot b^{n-1}+b^n\)

 

Övning

ÖvningsuppgiftSvar
Utveckla \( (a+b)^5\) och använd \( c_1, \ c_2, \ c_3...\) för att markera konstanterna.
\( (a+b)^5 = a^5+c_1a^4b+c_2a^3b^2+c_3a^2b^3+c_4ab^4+b^5\)

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 2 januari 2011. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Kommentarer är stängda