Allmänna konjugatregeln

Liksom det finns en allmän formel för att utveckla \( (a+b)^n\) som heter binomialsatsen, finns det en allmän konjugatregel. Den är nära besläktad med binomialsatsen och är något enklare. Den ser ut som följande

\(a^n-b^n = (a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k}\cdot b^k \ .\)

Om man inte är bekant med summasymbolen (\( \sum\)) går den att läsa om här.

Mönstret

Vi har lärt oss att

\( a^2-b^2 = (a-b)(a+b),\)

och i formelsamlingen man får använda vid nationella prov finns även följande identitet

\( a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \ .\)

Med tanke på att jag påstår att den är nära besläktad med binomialsatsen kan vi nog utskilja ett mönster. Exponenten för \( a\) sjunker med ett samtidigt som exponenten för \( b\) ökar med ett. Samtliga koefficienter före termerna är 1. Vi kan ganska snabbt lista ut att

\( a^4-b^4 = (a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3) \ .\)

Den allmänna konjugatregeln är då alltså

\( a^n-b^n = (a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1}\right) \ .\)

Övning

ÖvningsuppgiftSvar
Utveckla \( a^6-b^6 \ .\)
\( a^6-b^6 = (a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)\)

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 2 januari 2011. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Comments are closed