Några vanliga mängder

Reella tal

Med reella tal menar man oftast vanliga tal. De talen som finns på en vanlig sammanhängande (kontinuerlig) tallinje. Den kallas för den reella tallinjen. De reella talen formar en mängd, som man brukar beteckna med ett \( \mathbb{R}\).

 

Naturliga tal

Naturliga tal är de talen som först dök upp i matematikens historia. De tal jag pratar om är \( 0,\ 1,\ 2, \ 3, \ 4...\) Det vill säga positiva heltal och noll. Dessa utformar de naturliga talen, och denna mängd skrivs som \( \mathbb{N}\).

\( \mathbb{N} = \{0,\ 1,\ 2, \ 3, \ 4...\} \ .\)

Beroende på vart man läser så definerar folk de naturliga talen olika. Vissa räknar med nollan, vissa utan. Jag väljer att ta med nollan i denna artikel.

 

Heltal

Om man utvidgar de naturliga talen och tar med negativa heltalen också, så har man fått mängden av alla heltal. Denna skrivs som \( \mathbb{Z}\).

\( \mathbb{Z} = \{...-3, \ -2, \ -1,\ 0 ,\ 1, \ 2, \ 3...\} \ .\)

Man kan även utforma två delmängder till heltalen. De positiva heltalen, \( \mathbb{Z}^+\) och de negativa heltalen, \( \mathbb{Z}^-\).

\( \mathbb{Z}^+ = \{1, \ 2, \ 3...\} \\ \mathbb{Z}^- = \{...-3, \ -2, \ -1\} \ .\)

 

Rationella tal

Ett rationellt tal är ett bråk av heltal. Om man tar två heltal och utför division mellan dem, så får man ett rationellt tal. Detta utvidgar heltalen ytterligare ett steg. Exempel på rationella tal är \( \frac{1}{2} = 0.5\) och \( \frac{5}{4} = 1.25\). De rationella talen betecknas \( \mathbb{Q}\).

\( \mathbb{Q} = \{x = \frac{p}{q}\ \| \ p,q\in\mathbb{Z}\} \ .\)

Irrationella tal

De irrationella talen är tal som inte kan skrivas som ett bråk av heltal. Exempel på irrationella tal är \( \sqrt{2}, \ \pi, \ e\). Det finns ingen speciell beteckning för de irrationella talen. Men de tal som är reella men inte rationella, är irrationella. Man skulle kunna skriva det som en mängddifferens mellan de reella talen och de rationella talen. \( \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\).

 

Komplexa tal

Den yngsta (och största) mängden av tal hittils är de komplexa talen. Ett komplext tal kan skrivas på formen \( z = a+bi\) där \( a,b\in \mathbb{R}\) och där \( i\) är den imaginära enheten. Denna mängd av tal skrivs som \( \mathbb{C}\).

\( \mathbb{C} = \{z = a+bi \ \| \ a,b\in \mathbb{R}\} \ .\)

 

Samband mellan alla mängderna

Den största mängden av dessa är de komplexa talen. Detta är för att man kan skriva alla reella tal som \( a+0i\). Det vill säga med en imaginärdel som är lika med 0. Så faktum är att alla reella tal är komplexa tal. Efter de reella talen i storlek är de rationella talen. Alla heltal är rationella eftersom t.ex. heltalet 2 kan skrivas som ett bråk av två heltal, nämligen \( \frac{2}{1} = 2\). Efter de rationella talen följer heltalen och sedan de naturliga talen. Så man kan skriva

\( \mathbb N \subseteq Z \subseteq Q \subseteq R \subseteq C \ .\)

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 29 juni 2011. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Comments are closed