Mängdlära

Mängdlära, eller mängdteori som det också kallas, är en utav grundstenarna inom matematiken. Egentligen kan allting i grund och botten brytas ned till mängder. En funktion är till exempel en operation mellan mängder. En funktion funkar som sådan att man matar in ett tal ur definitionsmängden och får ut ett tal i värdemängden som är en delmängd av målmängden. Ett exempel på en mängd är alla heltal. Ett annat exempel är en mängd som innehåller alla andragradsfunktioner som finns.

Mängders uppbyggnad

En mängd är någonting som innehåller såkallade element. Dessa element behöver inte vara tal uan kan vara vilka objekt som helst. En mängd kan innehålla alla huvudstäder i Europa till exempel. En mängd \( M\) som innehåller elementen \( 1,\ 2,\ 3,\ 4\) kan skrivas som

\( M = \{1,\ 2,\ 3,\ 4\} \ .\)

Det spelar ingen roll i vilken ordning man skriver elementen i en mängd. \( M = \{1,\ 2,\ 3,\ 4\}\) är samma mängd som \( M = \{2,\ 3,\ 1,\ 4\}\) till exempel. Det spelar ingen roll om det finns dubbletter av ett element i en mängd heller.

\( \{2, \ 2, \ 2, \ 2\} = \{2\} \ .\)

 

Andra sätt att skriva mängder

Det kan vara lite knepigt att skriva mängden som beskriver alla heltal \( x\) som innehåller en 4a. Det man då kan göra istället för att rada upp alla element i mängden är att beskriva hur mängden ser ut. Man kan skriva den mängden som

\( P = \{x \ | \ x \ \mathrm{ inneh\dot{a}ller\, en\, 4a}\} \ .\)

Detta sägs "mängden av alla \( x\) sådana att \( x\) innehåller en 4a". Sträcket i mitten uttalas alltså "sådana att" eller "sådant att".

 

Om ett element finns i en mängd (notation)

En av de mest grundläggande sakerna som har med mängder att göra är ett sätt att skriva att \( e\) är ett element i \( M\). Detta skrivs som

\( e \in M \ ,\)

och uttalas "\( e\) är i \( M\)" eller "\( e\) är ett element i \( M\)". Om man vill visa att ett element inte ingår i en mängd, som till exempel talet 7 i vårt fall. Talet 7 finns inte i \( M\). Då skriver man

\( 7 \not{\in} M \ .\)

"7 är inte i \( M\)" eller "7 är inte ett element i \( M\)".

 

Delmängder

Om man har två mängder \( A\) och \( B\), och alla elementen som finns i mängden \( A\) också finns i \( B\) så är \( A\) en delmängd av \( B\). Ett mer konkret exempel är om \( A = \{1, \ 2\}\) och \( B = \{1, \ 2, \ 3, \ 5\}\) så är \( A\) en delmängd av \( B\) eftersom alla element i \( A\) finns i \( B\). Detta skrier man som

\( A \subseteq B \ .\)

Däremot är mängden \( C = \{1, \ 4\}\) inte en delmängd till \( B\) eftersom elementet 4 inte finns i \( B\).

Tecknet som betecknar en delmängd påminner om olikhetstecknen, och precis som ett olikhetstecken så finns det en "strikt" delmängd, eller en äkta delmängd som det heter. Det funkar på samma sätt som med olikheter också. \( A \subseteq B\) betyder "\( A\) är en delmängd eller lika med \( B\)" och \( A \subset B\) betyder "\( A\) är en äkta delmängd av \( B\)". Skillnaden är alltså att \( \subset\) exkluderar fallet då \( A = B\). Eftersom \( \subseteq\) betyder "är en delmängd eller lika med", så betyder det att alla mängder är delmängder åt dem själva. Det vill säga

\( A \subseteq A \ ,\)

eftersom \( A = A\). Oftast i litteratur så brukar man endast använda \( \subseteq\) eftersom det är inte alla gånger man har någon nytta med att exkludera fallet \( A = B\), men det är bra att känna till skillnaden.

 

Den tomma mängden

Den tomma mängden är en mängd som helt enkelt är tom! Den betecknas som \( \emptyset\).

\( \emptyset = \{ \ \} \ .\)

Den tomma mängden har den egenskapen att den är delmängd till alla mängder.

 

Operatorer

Union

Union kan liknas vid mängdernas addition. Unionen av två mängder är en ny mängd som innnehåller samtliga element från båda mängderna. Unionen av \( \{1, \ 9\}\) och \( \{6,\ 122\}\) är \( \{1, \ 6, \ 9, \ 122\}\). Detta skriver man som

\( \{1, \ 9\}\cup\{6,\ 122\} = \{1, \ 6, \ 9, \ 122\} \ .\)

Snitt

Snittet av två mängder är en ny mängd som endast innehåller elementen som återfinns i båda mängderna. Det vill säga snittet av \( \{1, \ 9\}\) och \( \{6,\ 122\}\) är \( \emptyset\). Snittet av \( \{1,\ 2,\ 3\}\) och \( \{2, \ 3, \ 4\}\) är \( \{2, \ 3\}\). Detta skriver man som

\( \{1, \ 9\}\cap\{6,\ 122\} = \emptyset \\ \{1,\ 2,\ 3\}\cap\{2, \ 3, \ 4\} = \{2, \ 3\} \ .\)

Disjunkta mängder

En liten fördjupning angående snitt-operatorn är att om snittet mellan två mängden är lika med den tomma mängden så kallas mängderna för disjunkta. Dessa två mängder är helt "olika" från varandra. Inget element i någon av mängderna återfinns i den andra. Mängderna \( \{1, \ 9\}\) och \( \{6,\ 122\}\), som i exemplet ovan, är disjunkta eftersom

\( \{1, \ 9\}\cap\{6,\ 122\} = \emptyset\)

Mängddifferens

Mängddifferens är vad det låter, differens mellan mängder. Det kan liknas vid mängdernas subtraktion. Mängddifferensen mellan två mängder är en ny mängd som innehåller alla element som finns i den första mängden, men inte i den andra. Man drar bort alla element som finns i den andra. Mängddifferensen mellan mängderna \( \{1,\ 2, \ 5,\ 6, \ 7, \ 8\}\) och \( \{2, \ 3, \ 7, \ 9\}\) är \( \{1, \ 5, \ 8 \}\). Det skrivs som

\( \{1,\ 2, \ 5,\ 6, \ 7, \ 8\} \setminus \{2, \ 3, \ 7, \ 9\} = \{1, \ 5, \ 8 \} \ .\)

Komplement

Likt sannolikhetsteorins uttryck "komplement" så finns det komplementmängder också. Komplementmängden till \( A\) är en mängd som innehåller alla element som inte finns i \( A\). Om man utgår ifrån alla heltal så är komplementmängden till alla positiva tal, alla negativa tal. Komplementmängden brukar ofta betecknas som \( A^c\) eller \( A^*\).

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 24 juni 2011. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Comments are closed