Randvillkor och övningar

Vi kan nu lösa differentialekvationer allmänt och hitta allmänna lösningar. De allmänna lösningarna innehåller alltid en eller flera konstanter. T.ex.

\( y = Ce^{3x} \\ y = Ae^{-3x} + Be^{4x} \ .\)

Ibland när man löser differentialekvationer så finns det så kallade randvillkor. Detta är villkor som gör att man kan bestämma dessa konstanter, så man får en specifik lösning som uppfyller ett visst krav. Ett exempel på en differentialekvationsuppgift med randvillkor är

Lös differentialekvationen \( y'-4y = 0\)\( y(0) = 2\).

Den allmänna lösningen är

\( y = Ce^{4x} \ .\)

Med randvillkoret så får vi att

\( y(0) = C \cdot e^0 = C = 2 \ .\)

Det betyder att lösningen till differentialekvationen är

\( y = 2e^{4x} \ .\)

Egentligen är det inget märkvärdigt med det. Det är samma typ av problem som att bestämma en viss primitiv funktion genom ett villkor.

 

Övningar på differentialekvationer

Här kommer några samlade övningar som har med differentialekvationer att göra. Svar och lösningar finns gömda.

Lös differentialekvationen

 

a)SvarLösning
\( v'+3v = 0\)\( v(0) = 1\)
\( v = e^{-3x}\)
Den allmänna lösningen är

\( v = Ce^{-3x} \ .\)

Med randvillkortet så får vi

\( v(0) = Ce^{0} = C = 1 \ .\)

b)SvarLösning
\( y'+y = 4x^2\)
\( y = Ce^{-x} + 4x^2-8x+8 \ .\)
Den motsvarande lösningen till den homogena differentialekvationen är

\( y_h = Ce^{-x} \ .\)

Med ansatsen \( y_p = ax^2+bx+c\) så får man

\( y'_p = 2ax+b \ ,\)

som efter insättning i differentialekvationen ger

\( 2ax+b+ax^2+bx+c = ax^2+(2a+b)x+(c+b) = 4x^2 \ .\)

Detta ger ekvationssystemet

\( \begin{cases}a = 4 \\ 2a+b = 0 \\ c+b = 0 \ .\end{cases}\)

Vidare ger detta

\( \begin{cases}b = -8 \\ c = 8 \ .\end{cases}\)

Det betyder att

\( y = y_h+y_p = Ce^{-x} + 4x^2-8x+8 \ .\) 

c)SvarLösning
\( p^{\prime}(x)-4p(x) = 4x+4\) då \( y(0) = 0\)
\( p(x) = \frac{5}{4}e^{4x} - x - \frac{5}{4}\ .\)
Först så blir den allmänna homogena lösningen

\( p_h(x) = Ce^{4x} \ .\)

Ansätter \( p_p(x) = ax+b, \ p_p'(x) = a\) för att få

\( a-4(ax+b) = -4ax+(a-4b) = 4x+4 \ ,\)

som ger ekvationssystemet

\( \begin{cases}-4a = 4 \\ a-4b = 4 \ ,\end{cases}\)

med lösningarna

\( \begin{cases}a = -1 \\ b = -\frac{5}{4}\ .\end{cases}\)

Bestäm \( C\) med randvillkoret genom

\( p(0) = C \cdot e^0 - 0 - \frac{5}{4}= 0 \ \Leftrightarrow \ C = \frac{5}{4}\ .\)

Detta ger alltså

\( p(x) = \frac{5}{4}e^{4x} - x -\frac{5}{4}\ .\)

d)SvarLösning
\( g^{\prime \prime}(x)-4g^{\prime}(x)+3g(x) = 0\)\( g(0) = 2, \ g' (0) = 0\)
\( g(x) = 3e^{x} - e^{3x} \ .\)
Den karaktäristiska ekvationen är

\( r^2-4r+3 = 0 \ .\)

Den har lösnignarna \( r = 1, \ r = 3\), vilket ger

\( g(x) = Ae^{x} + Be^{3x} \ . \)

Första randvillkoret ger

\( g(0) = Ae^0 + Be^0 = A+B = 2 \ .\)

det andra randvillkoret ger

\( g'(0) = Ae^0+3Be^0 = A+3B = 0 \ .\)

Ekvationssystemet vi får är

\( \begin{cases}A+B = 2 \\ A+3B = 0 \ ,\end{cases}\)

med lösningarna

\( \begin{cases}A = 3 \\ B = -1\ . \end{cases}\)

Detta ger

\( g(x) = 3e^{x} - e^{3x} \ .\)

e)SvarLösning
\( y^{\prime \prime} + 2y'+4y = \cos(x)\)
\( y = (Ax+B)e^{-x} + \frac{1}{2}\sin(x) \ .\)
Den karaktäristiska ekvationen till den motsvarande homogena differentialekvationen är

\( r^2+2r+1 = 0 \ .\)

Denna har en dubbelrot i \( r = -1\), vilket betyder att den homogena lösningen är

\( y_h = (Ax+B)e^{-x} \ .\)

Eftersom högerled är \( \cos(x)\) så ansätter man \( y_p = A\sin(x)+B\cos(x) \ ,\) vilket ger

\( y_p' = A\cos(x)-B\sin(x) \\ y_p^{\prime \prime} = -A\sin(x) - B\cos(x) \ .\)

Insättning i differentialekvationen ger

\( -A\sin(x)-B\cos(x)+2A\cos(x)-2B\sin(x) + A\sin(x)+B\cos(x) = \\ = (-2B)\sin(x) + 2A\cos(x) = \cos(x) \ .\)

Detta ger direkt att

\( \begin{cases}B = 0 \\ A = \frac{1}{2}\ ,\end{cases}\)

Som leder till  den fullständiga lösningen

\( y = y_h + y_p = (Ax+B)e^{-x} + \frac{1}{2}\sin(x) \ .\)


Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 19 juni 2011. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Kommentarer är stängda