Inhomogena differentialekvationer

Hittills har det endast förekommit homogena differentialekvationer. Men i denna artikel behandlas även inhomogena. Exempel på inhomogena differentialekvationer är

\( y'+3y = x+6 \\ y'-5y = x^2+3 \\ y^{\prime \prime}-4y = \sin(3x) \ .\)

 

Partikulärlösning

En inhomogen differentials lösning är en lösning som är en kombination av den homogena lösningen och en partikulärlösning. Den homogena lösningen är lösningen till den motsvarande homogena differentialekvationen. Partikulärlösningen bestäms genom att göra en lämplig ansats, som beror på vad högerledet i differentialekvationen är.

Den fullständiga lösningen skrivs som

\( y = y_h + y_p \ ,\)

där \( y_h\) är lösnigen till den motsvarande homogena differentialekvationen och \( y_p\) partikulärlösningen. Om vi tar den första differentialekvationen som exempel,

\( y' +3y = x+6 \ .\)

Den motsvarande homogena differentialekvation är om \( \mathrm{HL} = 0\), det vill säga

\( y' + 3y = 0 \ .\)

Denna har lösningen \( y_h = Ce^{-3x}\), vilket man ser direkt. Nu, när vi ska bestämma en partikulärlösning så ska vi göra en lämplig ansats. Ansatsen gör man beroende på högerledet i differentialekvationen. I detta fallet är högerledet en linjär funktion. Då gör vi ansatsen i form av en linjär funktion också! \( y_p = ax+b \ .\) Derivera denna och sätt in i differentialekvationen och bestäm koefficienter. Vi får att

\( y' + 3y=a+3(ax+b) = a+3ax+3b = 3ax+(a+3b)\ .\)

Kräver vi att detta ska vara lika med \(x+6\) för alla \(x\) ser vi att \( 3a\) måste vara lika med 1 och att \( a+b\) måste vara lika med 6. Detta ger ekvationssystemet

\( \begin{cases}3a = 1 \\ a+3b = 6 \ ,\end{cases}\)

som har lösningarna

\( \begin{cases}a = \frac{1}{3} \\ b = \frac{17}{9} \ .\end{cases}\)

Våran partikulärlösning blir då \( y_p = \frac{1}{3}x + \frac{17}{9}\), och den fullständiga lösningen till differentialekvationen är

\( y = y_h + y_p = Ce^{-3x} + \frac{1}{3} x + \frac{17}{9} \ .\)

 

Ansatser

Ansatserna gör man beroende på vilket högerled man får. Här är en tabell över några ansatser man gör

\( \begin{array}{ | l | l | }\hline \mathrm{H\ddot{o}gerled} & \mathrm{Ansats} \\ \hline x+6 & ax+b \\ \hline x^2+4x+3 & ax^2+bx+c \\ \hline 4\cdot e^{3x} & a \cdot e^{kx} \\ \hline \sin(kx) & A\sin(kx)+B\cos(kx) \\ \hline \end{array}\)

Generellt gäller att man kan börja med att pröva något som liknar högerledet. Fungerar det inte, försöker man tänka ut hur man ska modifiera sin ansats för att det ska fungera. Notera att det inte spelar någon roll hur man kom fram till sin partiklärlösning -- den fungerar lika bra oavsett om använde en elegant lösningsmetod, eller bara lyckades gissa rätt med ren tur. Var därför inte rädd för att göra gissningar (men gör intelligenta gissningar, och utgå från tabellen ovan).

Om man vill gå lite överkurs när det gäller ansatser, så kan man använda följande tips. Om vi har följande differentialekvation

\( y^{\prime \prime} - 4y' = 2x+3 \ ,\)

och ska bestämma en partikulärlösning, \( y_p\), så sätter vi först \( y_p = ax+b \ .\) Detta ger oss

\( y^{\prime} = a \\ y^{\prime \prime} = 0 \ ,\)

som efter insättning ger

\( 0 - 4a = 2x+3 \ .\)

Vi får nu endast en konstant i vänsterled, vilket inte duger. För vi har ju inte kvar någon \( x\)-term nu oavsett hur vi bestämmer \( a\), så kommer partikulärlösningen alltid endast ha en konstant term efter man stoppat in den i differentialekvationen, och vi saknar då en \( x\)-term.

Så vi har stött på ett problem. Det man istället gör då, om en ansats inte "fungerar" är att man höjer gradtalet! Eftersom en linjär funktion som ansats inte funkade så höjer vid gradtalet så vi får en andragradare istället. Så \( y_p = ax^2+bx+c\)

\( y' = 2ax+b \\ y^{\prime \prime} = 2a \ .\)

Nu har vi en \( x\)-term och allt är bra. Men vi saknar en konstanttermen \( c\). Men den behöver vi inte veta, eftersom den försvinner ändå, och vi har ändå kvar en konstantterm, \( b\) och \( 2a\), och våran \( x\)-term, \( 2ax\), efter vi har stoppat in den i differentialekvationen.

Om man får detta problem när man använder ansatsen \( ae^{kx}\), så kan man pröva sätta \( axe^{kx}\) och sedan \( ax^2e^{kx}\) osv.


Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 19 juni 2011. Senast uppdaterad 21 maj 2017.

Kommentarer är stängda