Homogena differentialekvationer av första ordningen

En linjär homogen differentialekvation av första ordningen är den enklaste typen av differentialekvation och kan se ut på följande sätt

\( y' + 4y = 0 \\ y' - 5y = 0 \ .\)

Lösningen till dessa är alltså en funktion. Men det är mer rätt att säga att lösningen är en "familj" av funktioner. Det vill säga oändligt många funktioner som vi snart kommer att märka. Men det är endast värdet på en konstant som ändrar funktionen. Detta kan jämföras med att en funktion har oändligt många primitiva funktioner, just på grund av en konstant.

 

Den allmänna lösningen

När man kommit fram till den allmänna lösningen till denna typ av differentialekvation har man börjat med att kolla på differentialekvationen och se om man kan hitta en lösning bara genom att titta på den. I den första differentialekvationen som jag skrev upp ovan så ser man att \( y = e^{-4x}\) är en lösning (verifiera detta).

I det allmänna fallet, då man har \( y' + ay = 0\) så kan man anta att lösningen är av samma slag, det vill säga en exponentialfunktion. Man ansätter därför

\( y = e^{rx} \\ y' = re^{rx} \ ,\)

för att sedan sätta in i differentialekvationen. Då erhåller man

\( re^{rx} + ae^{rx} = 0 \ \Leftrightarrow \ e^{rx}(r+a) = 0 \ .\)

Om man nu använder nollproduktsmetoden så ser man att \( e^{rx} = 0\) inte har några lösningar och då betyder det att \( r = -a\). Så funktionen \( y = e^{-ax}\) är en lösning till differentialekvationen \( y' + ay = 0 \ .\) Som jag tidigare nämnde har en DE oändligt många lösningar. Med det menas att man kan peta in en konstant före \( e^{-ax}\). Konstanten kan anta vilket värde som helst, utan att påverka lösningen, eftersom konstanten inte påverkas genom deriveringen. Den hänger alltid kvar. Detta gör att den allmänna lösningen till den linjära homogena differentialekvationen av första ordningen, \( y'+ay = 0\) är \( y = Ce^{-ax}\).

\( \boxed{y' + ay = 0 \ \Leftrightarrow \ y = C \cdot e^{-ax}}\)

Övningar

Lös differentialekvationerna.

Uppgift 1SvarLösning
\(y' + 4y = 0\)
\( y = Ce^{-4x}\), där C är en godtycklig konstant.
Använd bara det faktum att \( y' + ay = 0 \ \Leftrightarrow \ y = C \cdot e^{-ax}\) så får man \( y = Ce^{-4x} \ .\)

Uppgift 2SvarLösning
\(y' - 7y = 0\)
\( y = Ce^{7x}\), där C är en godtycklig konstant.
Använd \( y' + ay = 0 \ \Leftrightarrow \ y = C \cdot e^{-ax}\) med \( a=-7 \). Då fås \( y = Ce^{7x} \ .\)

Uppgift 3SvarLösning
\( 2y' - 10y = 0\)
\( y = Ce^{5x}\), där C är en godtycklig konstant.
Dela båda led med 2, så att du får \(y'-5y=0\), som har lösningen \(y=Ce^{5x}\ .\)

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 18 juni 2011. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Kommentarer är stängda