Polynomdivision och faktorsatsen

Polynomdivision är precis vad det låter. Man dividerar två polynom. Men det finns ett visst tillvägagångssätt för att dividera polynom med varandra. En tillämpning på detta kan vara om man vill lösa en tredjegradsekvation där man vet att t.ex. \( x = 3\) är en rot. Men för det behövs också faktorsatsen.

 

Faktorsatsen

Faktorsatsen är ganska enkel att förstå. Faktorsatsen säger att om \( x = a\) är en rot till ett polynom \( p(x)\). Det vill säga att \( p(a) = 0\), så är \( (x-a)\) en faktor till polynomet. Detta betyder att om \( x = a\) är ett nollställe till ett polynom och \( (x-a)\) då en faktor, så kan man skriva polynomet \( p(x)\) som

\( p(x) = (x-a)q(x) \ ,\)

där \( q(x)\) är ett annat polynom. Eftersom \( x = a\) ger det

\( p(a) = (a-a)q(x) = 0 \cdot q(x) = 0 \ ,\)

som faktorsatsen påstår. Med andra ord så verifieras faktorsatsen lätt på detta sätt.

I inledningen nämndes att man kan lösa tredjegradsekvationer genom att veta en utav de tre rötterna. Om man vet att \( x = 3\) är en rot så är \( (x-3)\) en faktor till tredjegradaren, enligt faktorsatsen. Man kan sedan dividera bort denna faktor för att få kvar en andragradare. Detta eftersom \( \frac{x^3}{x} = x^2\), och det är ju den högst förekommande exponenten, som spelar roll för ett polynoms grad.

 

Polynomdivision och ett enkelt exempel

Om vi vill börja med ett enkelt problem. Vi får veta att polynomet \( p(x) = x^2-4x+3\) har en rot som är \( x = 1\). Detta betyder att \( (x-1)\) är en faktor till polynomet. Vi vill då utföra polynomdivisionen

\( \frac{x^2-4x+3}{x-1} \ .\)

Det man gör är att man skriver täljaren under ett streck och \( (x-1)\) till vänster om det. Man skriver ut kvoten ovanför strecket.

1. Det första vi gör är att dela den högsta termen i täljaren med högsta termen i nämnaren och sätta resultatet ovanför ett streck. \( \frac{x^2}{x} = x\), så vi sätter

2. Multiplicera nämnaren med resultatet som vi just fick och skriv det under täljaren i polynomdivisionen. \( x \cdot (x-1) = x^2-x\)

3. Subtrahera resultatet som vi nyss fick ifrån "samma typ" av termer i täljaren. Detta kan vara lite knepigt ibland på grund av tecknet. \( (x^2-4x)-(x^2-x) = -4x+x = -3x \ .\) Skriv detta längst ner och "dra ner" 3an bredvid \( -3x\) så får man

4. Repetera ovanstående tre punkter med undantaget att man dividerar högsta termen i det som står längst ner med högsta termen i nämnaren. \( \frac{-3x}{x} = -3\). Skriv detta längst upp nu.

5. Multiplicera -3 med nämnaren och skriv längst ned \( -3(x-1) = -3x+3\)

6. Subtrahera dessa med varandra nu så får man \( (-3x+3)-(-3x+3) = 0\)

Eftersom vi nu fått 0 där nere så är vi klara. Resten är 0 och polynomdivisionen gick ut helt. Detta betyder att

\( \frac{x^2-4x+3}{(x-1)} = x-3 \ .\)

Eftersom \( x-3\) också tydligen är en faktor till polynomet så måste \( x = 3\) också vara en rot, enligt faktorsatsen.

 

Ett lite svårare exempel

Det första exemplet var väldigt enkelt, och resten blev 0 så allting var frid och fröjd. Detta exempel som följer är det inte lika frid och fröjd.

Beräkna kvoten \( \frac{x^3-12x^2-42}{x-3} \ .\)

Det vi först vill göra är att skriva täljaren som \( x^3-12x^2 + 0x -42\). Vi vill alltså ha med x-termen även om koefficienten är lika med 0, för annars blir det fel i polynomdivisionen. Vi börjar med att ställa upp polynomdivisionen. Vad som händer i de olika stegen finns ovan.

1. \( \frac{x^3}{x} = x^2\)

2. \( x^2(x-3) = x^3-3x^2\)

3. \( (x^3-12x^2)-(x^3-3x^2) = -9x^2\)

 

4. \( \frac{-9x^2}{x} = -9x\)

5. \( (-9x^2+0x)-(-9x^2+27x) = -27x\)

6. Fortsätt denna procedur tills talet längst ned i polynomdivisionen får lägre grad än ursprungsnämnaren. I detta fallet så vill vi att det ska vara en konstant längst ned.

Nu ser vi att kvoten är \( x^2-9x-27\). Resten däremot är inte -123, utan resten skriver man som talet längst ned dividerat med ursprungsnämnaren. Dvs. resten är \( -\frac{123}{x-3} \ .\)

Med andra ord så är

\( \frac{x^3-12x^2-42}{x-3} = x^2-9x-27 - \frac{123}{x-3} \ .\)


Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 8 januari 2010. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Kommentarer är stängda