Differentialekvationer

Differentialekvation är en ekvation som beskriver ett samband mellan en funktion och dess derivator. Några exempel på differentialekvationer är

  • \( y'+2y = 0\)
  • \( y^{\prime \prime}+4y'+2y = 4x^2\)
  • \( y'+y^2 = x+3\)

Den första är en linjär homogen differentialekvation av första ordningen.
Den andra är en linjär inhomogen differentialekvation av andra ordningen.
Den tredje är en icke-linjär inhomogen differentialekvation av första ordningen.

 

Ordningen av en differentialekvation

Det som bestämmer av vilken ordning en differentialekvation är dess högst förekommande derivata. Till exempel så är \( x^3+4x^2+4 = 0\) en tredjegradsekvation. På samma sätt är \( y^{\prime \prime \prime}+4y^{\prime \prime}+4 = 0\) en differentialekvation av tredje ordningen.

 

Linjär eller icke-linjär?

En differentialekvation kan vara antingen linjär eller icke-linjär. Om uttrycket för \( y\) och dess derivator alla har exponenten 1, så är differentialekvationen linjär. I andra exemplet ovan,

\( y^{\prime \prime}+4y'+2y = 4x^2,\)

så är den linjär eftersom ingen \( y\)-term har en exponent som är större än 1. Att någon av \( x\)-termerna har en exponent större än 1 har ingen betydelse för linjäriteten för en differentialekvation. Det tredje exemplet ovan

\( y'+y^2 = x+3\)

är inte en linjär differentialekvation på grund av termen \( y^2\).

 

Homogen eller inhomogen?

Det som avgör om en differentialekvation är homogen eller inte, är alla termer utom de som innehåller \( y\) eller någon av \( y\):s derivator. Om man samlar alla termer som innehåller \( y\) och dess derivator i ett led, och det endra ledet är lika med 0, så är differentialekvationen homogen. Ett exempel på en homogen differentialekvation är

\( y'+2y = 0 \ .\)

Däremot är

\( y'+2y - 1= 0\)

inte en homogen differentialekvation eftersom termen −1 inte innehåller något \( y\) eller någon av \( y\):s derivator. Det blir ännu tydligare om vi skriver

\( y'+2y - 1= 0 \ \Leftrightarrow \ y'+2y = 1 \ .\)

Eftersom vi endast har termer som innehåller innehåller \( y\) och \( y\):s derivator och det andra ledet inte är lika med 0, så är den inhomogen.

Fler exempel på inhomogena differentialekvationer:

\( y'+y^{\prime \prime} = 4x\)

\( y^{\prime} + y^2 = e^x\)

\( y^{\prime} + y^{\prime \prime \prime} = \sin(e^{\cos(x)})\)

 

Lösningen till en differentialekvation...

...kommer att tas upp i Matematik E. I Matematik D så fokuserar vi främst på att visa att en viss lösning verkligen löser en differentialekvation.

 

Exempel

Visa att

  1. \( y = 4 \cdot e^{2x}-2x-2\) är en lösning till \( y' - 2y = 4x+2 \ .\)
  2. \( y = e^{-x}\left(\sin\left(\sqrt{3}x\right)+\cos(\sqrt{3}x)\right)\) löser differentialekationen \( y^{\prime \prime} +2y' + 4y = 0 \ .\)

Lösningar

1. Vi deriverar \( y\), för att sedan sätta in \( y\) och \( y'\) i differentialekvationen för att kunna kontrollera att det är en lösning.

\( y' = 8e^{2x}-2,\)

som ger

\( \mathrm{VL} = 8e^{2x}-2 - 2(4 \cdot e^{2x}-2x-2) = 8e^{2x}-2-8e^{2x}+4x+4 = 4x+2 = \ \mathrm{HL} \ .\)

Exempel 2 lämnas som övning åt läsaren. Man måste derivera med produktregeln här.


Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 23 januari 2011. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Kommentarer är stängda