Trigonometriska funktioner

Denna artikel tar upp deriveringsreglerna för de trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens.

I exemplen utnytjas regler som tagits upp i tidigare artiklar.

\(\boxed{ f(x) = \sin(x) \quad \quad f'(x) = \cos(x) \\ f(x) = \cos(x) \quad \quad f'(x) = -\sin(x) \\ f(x) = \tan(x) \quad \quad f'(x) = 1+\tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}}\)

Förutsatt att \( x\) är i radianer.

 

De trigonometriska derivatorna och kedjeregeln

De trigonometriska derivatorna är väldigt tydliga yttre funktioner, så det brukar vara enkelt att se när kedjeregeln kan tillämpas på de trigonometriska derivatorna. Ett exempel är

\( y = \sin(x^2+1),\)

där man väldigt tydligt ser att \( \sin(u)\) är den yttre funktionen och \( u = x^2+1\) är den inre funktionen. I dessa fall måste man använda kedjeregeln för att derivera funktionen.

 

Vinkelmått

När man jobbar med de trigonometriska derivatorna så förutsätter man alltid att vinkeln \( x\) är i radianer eftersom annars gäller inte

\( \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x) \ .\)

Om vi istället skulle försöka beräkna de gränsvärden som uppkommer när man jobbar med derivatans definition om x var i mätt i grader skulle man få en ful konstant före \( \cos(x)\), som man inte vill ha. Så man använder radianer för att det blir lättare så.

 

Övningar och lösningar

 

Derivera

a)Svar
\( y = \sin(x^2)\)
\( y' = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2) \ .\)
b)Svar
\( y = \sin(x) + \cos(2x)\)
\( y' = \cos(x) + \cdot \left(-\sin(2x)\right) \cdot 2 = \cos(2x) - 2\sin(2x) \ .\)
c)Svar
\( y = 5x^2+4+\tan(4x)\)
\( y' = 10x+\frac{1}{\cos^2(4x)} \cdot 4 = 10x + \frac{4}{\cos^2(4x)} \ .\)

 

Bevis av de trigonometriska derivatorna

Beräkning av de gränsvärden som bevisen bygger på är s.k. standardgränsvärden och bevisas ej i detta bevis, utan förutsätter att de gäller. Bevis av dem kan komma i framtida artiklar.

 

Sats

\( \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)\)

där \( x\) är mätt i radianer.

 

Bevis

Tillämpning av derivatans definition ger

\( \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h} = / \mathrm{Utveckling med additionssatsen f\ddot{o}r sinus} / = \\ = \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h} = \\ = \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x)\cos(h)- \sin(x)}{h} + \cos(x) \cdot \underbrace{\frac{\sin(h)}{h}}_{\mathrm{Standardgr\ddot{a}nsv\ddot{a}rde}} = \\ = \lim_{h\to 0}\sin(x) \cdot \underbrace{\frac{\cos(h)-1}{h}}_{\mathrm{Standardgr\ddot{a}nsv\ddot{a}rde}} + \cos(x) \cdot \frac{\sin(h)}{h} = \sin(x) \cdot 0 + \cos(x) \cdot 1 = \cos(x) \ .\)

V.S.B.

 

Sats

\( \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)\)

där \( x\) är mätt i radianer.

 

Bevis

Tillämpning av derivatans definition ger

\( \lim_{h\to 0} \frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h} = / \mathrm{Utveckling med additionssatsen f\ddot{o}r cosinus} / = \\ = \lim_{h\to 0} \frac{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)}{h} = \\ = \lim_{h\to 0} \frac{\cos(x)\cos(h)- \cos(x)}{h} - \sin(x) \cdot \underbrace{\frac{\sin(h)}{h}}_{\mathrm{Standardgr\ddot{a}nsv\ddot{a}rde}} = \\ = \lim_{h\to 0}\cos(x) \cdot \underbrace{\frac{\cos(h)-1}{h}}_{\mathrm{Standardgr\ddot{a}nsv\ddot{a}rde}} - \cos(x) \cdot \frac{\sin(h)}{h} = \cos(x) \cdot 0 - \sin(x) \cdot 1 = -\sin(x) \ .\)

V.S.B.

Bevis av deriveringsregeln för tangens lämnas som övning i artikeln om produkt- och kvotregeln.

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 17 januari 2010. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Comments are closed