Produkt- och kvotregeln

I denna artikeln behandlas regler som används för att derivera produkter och kvoter av funktioner

\(\boxed{ \mathrm{Produktregeln} \quad (f \cdot g)' = f' g + fg' \\ \mathrm{Kvotregeln} \quad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' g - fg'}{g^2}}\)

Produkter eller kvoter av funktioner kan liksom sammansatta funktioner vara lite kluriga att skilja ut och se från början, men träning ger färdighet.

 

Tips

Produktregeln är lättare och går snabbare att tilllämpa än kvotregeln. På grund av potenslagen

\( \frac{1}{x} = x^{-1},\)

så kan man skriva om en kvot av funktioner som

\( \frac{f}{g} = f \cdot g^{-1},\)

som gör att man kan tillämpa, den lite enklare, produktregeln som gör att man i de flesta fall kan slippa använda kvotregeln. Detta medför dock att man tvingas använda kedjeregeln på grund av att man har \( g^{-1}\). T.ex om

\( g(x) = x^2+2x+1\)

så tvingas man jobba med

\( \left(x^2+2x+1\right)^{-1} \ .\)

Men i de allra flesta fallen är denna metod ändå snabbare än att använda kvotregeln. Man bör vara väl bekant med kvotregeln innan man tar alltför många genvägar och effektiviserar.

Detta är endast baserat på egna erfarenheter.

 

Exempel

Derivera

  1. \( y = x \cdot \sin(x)\)
  2. \( y = x^2 \cdot \ln(x)\)
  3. \( y = \frac{x}{e^{2x}}\)
  4. \( y = \frac{x}{x^2+1}\)

 

Lösningar

1.

Tillämpning av produktregeln ger

\( y' = 1 \cdot \sin(x) + x \cdot \cos(x) = \sin(x)+x\cos(x) \ .\)

2.

Tillämpning av produktregeln ger

\( y' = 2x \cdot \ln(x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x\ln(x) + x \ .\)

3.

Tillämpning av kvotregeln ger

\( y' = \frac{1 \cdot e^{2x}-x \cdot 2e^{2x}}{\left(e^{2x}\right)^2} = \frac{e^{2x}-2xe^{2x}}{e^{4x}} = \frac{e^{2x}\left(1-2x\right)}{e^{4x}} = \frac{1-2x}{e^{2x}} \ .\)

4.

Tillämpning av kvotregeln ger

\( y' = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} \ .\)

 

Övningar och lösningar

Derivera

a)SvarLösning
\( f(x) = x^2\cos(x)\)
\( f'(x) = 2x\cos(x)-x^2\sin(x)\)
Tillämpning av produktregeln ger

\( f'(x) = 2x \cdot \cos(x) + x^2 \cdot (-\sin(x)) = 2x\cos(x)-x^2\sin(x)\)

b)SvarLösning
\( f(x) = 5x \cdot e^{x}\)
\( f'(x) = (5+5x)e^{x}\)
Tillämpning av produktregeln ger

\( f'(x) = 5 \cdot e^{x} + 5x \cdot e^{x} = (5+5x) \cdot e^{x}\)

c)SvarLösning
\( f(x) = \frac{\sin(x)}{\ln(x)}\)
\( f'(x) = \frac{\cos(x)\ln(x) - \sin(x) \cdot \frac{1}{x}}{\ln^2(x)}\)
Tillämpning av kvotregeln ger

\(f'(x) = \frac{\cos(x) \cdot \ln(x)-\sin(x) \cdot \frac{1}{x}}{\left(\ln(x)\right)^2} = \frac{\cos(x)\ln(x) - \sin(x) \cdot \frac{1}{x}}{\ln^2(x)}\)

d)TipsLösning
Visa att

\( \frac{d}{dx}\tan(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x)\)

på två olika sätt (dels med produktregeln och dels med kvotregeln).

Använd att

\( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sin(x) \cdot \left(\cos(x)\right)^{-1} \ .\)

Första sättet - med kvotregeln:

Eftersom \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) så kan vi direkt tillämpa kvotregeln och få

\( \frac{d}{dx} \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{\cos(x) \cdot \cos(x) - \sin(x) \cdot (-\sin(x))}{\cos^2(x)} = \frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} \ .\)

Andra sättet - med produktregeln:

Om vi istället skriver \( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sin(x) \cdot \left(\cos(x)\right)^{-1}\) så får vi med produktregeln att

\( \frac{d}{dx} \sin(x) \cdot \left(\cos(x)\right)^{-1} = \cos(x) \cdot \left(\cos(x)\right)^{-1} + \sin(x) \cdot \left(-1\right) \cdot \left(\cos(x)\right)^{-2} \cdot \left(-\sin(x)\right) = \\ = 1+ \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x) \ .\)

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 17 januari 2010. Senast uppdaterad 8 maj 2016.

Comments are closed