Kedjeregeln

Hur deriverar man sammansatta funktioner så som \( y = \sqrt{x^4+3x^2-4x+4}\) och \( y = (x^3+2)^5\)? Det går inte att göra rakt av med de regler vi gått igenom tidigare. De ovannämnda funktionerna består nämligen av flera sammansatta funktioner! \( y = (x^3+2)^5\), till exempel, består av en funktion som är upphöjd till 5. Då kan man se det som en yttre funktion \( u^5\) och en inre funktion där \( u = x^3+2\).

Det är nu den så kallade kedjeregeln kommer till undsättning. Den talar om hur man deriverar just funktioner av detta slag! Vi kommer inte bara lära oss hur man använder den när det handlar om två sammansatta funktioner utan även vid fall med fler än så.

Denna artikel förutsätter att ni kan deriveringsreglerna som nämnts tidigare, om inte så leta upp den artikel som behandlar funktionen som deriveras! (Om du inte kan reglerna utantill vid detta laget så finns risk att du känner dig vilsen bland nedanstående exempel)

 

Kedjeregeln

En såkallad sammansatt funktion är en funktion på formen \( f(g(x))\). Kedjeregeln säger att

\( \boxed {\left(f(g(x))\right)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)}\)

Lås oss säga att vi har funktionen \( f(x) = \left(x^3-x^2+x-4\right)^2\), då är sinus den yttre funktionen och den inre \(x^3-x^2+x-4\). Låt oss derivera denna med kedjeregeln. För att underlätta sätter vi \( u = x^3-x^2+x-4\). Då är funktionen lika med

\( f(x) = u^2 \ .\)

Eftersom u är en funktion av \( x\), så säger kedjeregeln att derivatan av \( f(x)\) är

\( f'(x) = \underbrace{2u}_{\mathrm{Yttre derivata}} \cdot \overbrace{u'}^{\mathrm{Inre derivata}} = 2(x^3-x^2+x-4) \cdot (3x^2-2x+1)\)

Låt oss ge oss på ytterligare tre exempel.

 

Exempel

Derivera

  1. \( f(x) = \ln(7x^2+12x)\)
  2. \( f(x) = \sqrt{x^7-5x^2}\)
  3. \( f(x) = e^{x^2+3x}\)

 

Lösningar

1.

\( f(x) = \ln(7x^2+12x)\)

\( f''(x) = \frac{1}{(7x^2+12x)} \cdot (14x + 12) = \frac{14x+12}{7x^2+12x}\)

 

2.

\( f(x) = sqrt(x^7-5x^2)=(x^7-5x^2)^{\frac{1}{2}}\)

\( f''(x) =\frac{1}{2}\cdot (x^7-5x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (7x^6-10x) = \frac{7x^6-10x}{2\sqrt{x^7-5x^2}}\)

Notera att vi tog subtraherade ett från exponenten när vi deriverade, precis som vanligt alltså. Det är därför vi får uttrycket upphöjt i \( -\frac{1}{2}\).

 

3.

\( f(x) = e^{x^2+3x}\)

\( f''(x) = e^{x^2+3x}\cdot (2x+3)\)

 

Övningar och lösningar

Derivera

 

a)Svar
\( y = (x^2+4)^4\)
\( y' = 4(x^2+4)^3 \cdot 2x\)

b)Svar
\( y = e^{x^2}\)
\( y' = e^{x^2} \cdot 2x\)

 

c)Svar
\( y = \sqrt{2x^3+x-1}\)
\( y' = \frac{1}{2\sqrt{2x^3+x-1}} \cdot 6x^2+1 = \frac{6x^2+1}{2\sqrt{2x^3+x-1}}\)

 

 

 

Leibniz notation

Leibniz notation kallas det när man skriver derivatan som \( \frac{dy}{dx}\). Kedjeregeln kan ganska enkelt uttryckas med hjälp av leibniz notation. Om vi har en funktion y(x) så kan derivatan skrivas \( \frac{dy}{dx}\). Om vi nu har en funkton \( f(g(x))\) så kan man skriva dess derivata som

\( \frac{df}{dx},\)

men eftersom vi har en inre funktion \( g(x)\) så kan vi förlänga \( \frac{df}{dx}\) med \( dg\) så får vi

\(\frac{df}{dx} = \frac{df \cdot dg}{dx \cdot dg} = \underbrace{\frac{df}{dg}}_{f'(g(x))} \cdot \overbrace{\frac{dg}{dx}}^{g'(x)} \ .\)


Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 19 januari 2010. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Kommentarer är stängda