Två speciella trianglar

Det finns två speciella trianglar som kallas för 60°-30°-90°–triangeln och 45°-45°-90°–triangeln. Det  “speciella” med dessa trianglar är att det finns ett mycket användbart samband mellan deras sidor. Men det förutsätter att vinklarna i triangeln är antingen 45°, 45° och 90° eller 60°, 30° och 90° – därav namnet.

45°-45°-90°–triangeln

Om vi ritar en rätvinklig triangel med de angivna vinklarna, får vi en figur som nedan:

45-45-90-2

Eftersom två vinklar är lika stora så innebär detta att det är en likbent triangel. Vi har därför två sidor som är lika långa. I figuren är de identiska sidorna triangelns kateter. Vi betecknar deras längder med \( a\).

Vi använder Pythagoras sats för att ställa upp ett uttryck för triangelns hypotenusa, som vi lämpligen kallar  för \( h\).

\( a^2 + a^2 = h^2 \\ 2a^2 = h^2 \ .\)

Vi löser för \( h\) genom att dra roten ur i bägge led (vi bortser från att kvadratroten har två lösningar då ena lösningen ger ett negativt värde).

\( \sqrt {2a^2} = \sqrt {h^2} \\h = \sqrt {2a^2} \ . \)

Högerledet kan förenklas enligt \( \sqrt {ab} = \sqrt a \cdot \sqrt b\). Roten ur \( a^2\) är helt enkelt bara \( a\). Vi får därför hypotenusan, \( h\), till:

\( \boxed{h = a\sqrt{2}} \ .\)

Alltså: om man har en triangel som har de förutsatta vinklarna 45°, 45° och 90°, så kan man använda sig av ovanstående samband för att beräkna hypotenusan eller kateterna (beroende på given data). Detta samband är otroligt användbart ifall man exempelvis gör uppgifter utan räknare eller delar upp komplicerade figurer i rätvinkliga trianglar. Det gäller bara att identifiera de rätta vinklarna.

60°-30°-90°–triangeln

Denna triangel bygger på en liksidig triangel d.v.s. en triangel vars sidor och vinklar är alla lika stora. Viktigt att notera är att eftersom alla sidor är lika långa så blir alla tre vinklar i triangeln också lika stora. Varje vinkel blir då 60°, oavsett sidornas längder. Vi börjar med att rita upp en liksidig triangel där vi betecknar sidorna med \( a\) och därpå delar upp den i två kongruenta, rätvinkliga trianglar.

 

60-30-90-1

Just på grund av att triangeln är liksidig så blir ena kateten i de respektive rätvinkliga trianglarn hälften av \( a\). Vi behandlar endast en av de rätvinkliga trianglarna (det spelar egentligen inte någon roll då de båda är kongruenta). Vi använder Pythagoras sats för triangeln längst till höger (se bild).

\( h^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 = a^2 \\ h^2 + \frac{a^2}{4} = a^2 \ . \\\)

Denna gång ska vi istället ställa upp ett uttryck för kateten, \( h\), som faktiskt är höjden i den liksidiga triangel som vi plockade ut denna rätvinkliga triangel ifrån. Vi löser för \( h\) precis som vi gjort tidigare.

\( h^2 + \frac{a^2}{4} = a^2 \\ h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}\\ h^2 = \frac{3a^2}{4} \\ \sqrt{h^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} \\ \boxed{h = \frac{\sqrt{3}a}{2} \\} \ .\)

Alltså: om man har en triangel med de förutsatta vinklarna så kan man (beroende på given data) beräkna kateterna och hypotenusan precis som med 45°-45°-90°– triangeln. Ett bra tips för 60°-30°-90°– triangeln är att se det som en “halv” liksidig triangel – ritar man upp en exakt likadan triangel så kan man sätta ihop dem till en och samma liksidig triangel.

Övningar

in the making

 


Artikeln skriven av Hadid Rehman. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 22 juni 2011. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Kommentarer är stängda