Sin, cos och tan

Det finns en hel rad med olika trigonometriska funktioner, men de är allihopa härledda från de tre huvudsakliga trigonometriska funktionerna: sinus, cosinus och tangens. Dessa skrivs förkortat sin, cos och tan.

Dessa trigonometriska funktioner tillåter beräkningar av förhållandet eller kvoten mellan två sidor i en rätvinklig triangel genom en godtycklig vinkel. Det är just dessa funktioner som ger oss sambandet mellan vinklar och sidor i en (rätvinklig) triangel. Känner man till en vinkel och en sida i en (rätvinklig) triangel, så kan man tack vare trigonometriska funktioner beräkna övriga vinklar och sidor. Det är jätteviktigt att komma ihåg att dessa endast gäller för en rätvinklig triangel. Då man använder funktionerna utgår man alltid från en vinkel i triangeln.

Exempelvis om man har en vinkel på 30° så kan man beräkna sinus för 30° (uttalas vanligare bara "sin-trettio") genom att knappa in \( \sin (30^{\circ})\) på räknedosan. Men sin, cos och tan har alla tre olika definitioner eftersom alla tre är olika kvoter mellan olika sidor i en rätvinklig triangel.

Definition

För en rätvinklig triangel definieras de trigonometriska funktionerna enligt följande:

\(\sin(v) = \frac{\mathrm{motst \unicode{0x00E5}ende\,katet}}{\mathrm{hypotenusan}}\\\cos (v) = \frac {\mathrm{n\ddot{a}rliggande\, katet}}{\mathrm{hypotenusan}}\\\tan (v) = \frac {\mathrm{motst \unicode{0x00E5}ende\, katet}}{\mathrm{n\ddot{a}rliggande\, katet}} \ .\)

Dessa kan hittas i ett formelblad eller så kan man använda sig av minnstekniken presenterad längre ner.

Exempel

Betrakta triangeln nedan. Vi tillämpar ovanstående definitioner för vinkeln \( v\).

Rätvinklig triangel

Vad är sinus för vinkeln \( v\)? Enligt ovanstående är det motstående katet dividerat med hypotenusan. Vi utgår alltid från vinkeln d.v.s. vi betraktar triangelns sidor ur vinkelns perspektiv. Den motstående kateten för vinkeln \( v\) är därför \( a\). Hypotenusan är ju sidan som står emot den räta vinkeln i en rätvinklig triangel – därför blir hypotenusan, enligt figuren, \( c\). Sinus för vinkel \( v\) kan därför skrivas:

\(\sin (v) = \frac {a}{c} \ .\)

Hur blir det då för cosinus? Cosinus för en godtycklig vinkel är närliggande katet dividerat med hypotenusan, men frågan är vilken som är den närliggande kateten. Är det \( b\) eller \( c\)? Det är faktiskt \( b\), eftersom \( c\) är hypotenusan. Cosinus för vinkel \( v\) skrivs därför som:

\(\cos (v) = \frac {b}{c} \ .\)

ÖvningsuppgiftSvarLösning
Försök själv med tangens för figuren ovan. Använd definitionerna!
\(\tan (v) = \frac{a}{b}\)
Enligt definitionen ovan är tangens för vinkel \( v\)  motstående katet dividerat på närliggande katet. Motstående kateten för vinkel \( v\) är \( a\) och närliggande katet för vinkel \( v\) är \( b\).

Minnesregel

I början kan det upplevas som svårt att komma ihåg definitionerna, men det sätter givetvis sig efter ett tag då man gjort många övningar. Det finns dock en mycket praktiskt och användbar minnesregel, som kan vara till stor hjälp när t.o.m. formelbladet frånvarar.

SOH CAH TOA (uttalas "soh-kah-toa") är en kort liten akronym från engelskan som tillåter snabb ihågkommelse av vilka förhållanden de olika trigonometriska funktionerna behandlar.

\(\mathrm{S}= \sin\\\mathrm{O}= \mathrm{opposite (motst \unicode{0x00E5}ende)}\\\mathrm{H}= \mathrm{hypotenuse}\\\)

\( \mathrm{C}= \cos\\\mathrm{A}= \mathrm{adjacent (n\ddot{a}rliggande)}\\\mathrm{H}= \mathrm{hypotenuse}\\\)

\( \mathrm{T}= \tan\\\mathrm{O}= \mathrm{opposite}\\\mathrm{A}= \mathrm{adjacent} \ .\\\)

Man behöver alltså bara rabbla upp akronymen, så har man det (ett tips är att, till en början, alltid skriva ner det varje gång man jobbar med en trigonometriuppgift). Den första bokstaven avslöjar vilken trigonometrisk funktion det är, den andra vad som står i täljaren i bråket och den sista vad som står i nämnaren. SOH säger att sinus är opposite (motstående) dividerat med hypotenuse (hypotenusan).

Övning

Övning #1

ÖvningsuppgiftSvarLösning
Skriv upp ett uttryck för cosinus, sinus och tangens för vinkel \( u\) samt cosinus, sinus och tangens för vinkel \( v\) i ovanstående figur. (Tips: använd minnesregeln och utgå från varje vinkel – vilken är exempelvis motstående kateten för vinkel \( v\)?).

\( \sin (v) = \frac {2,3}{6,73} \\ \cos (v) = \frac {1,2}{6,73} \\ \tan (v) = \frac {2,3}{1,2}\)

och

\( \sin (u) = \frac {1,2}{6,73} \\ \cos (u) = \frac {2,3}{6,73} \\ \tan (u) = \frac {1,2}{2,3}\)

Använd minnesregeln SOH CAH TOA. Vi börjar med vinkel \( v\) där vi ska bestämma sin, cos respektive tan. Av minnesregeln kan vi erinra oss att sinus för en vinkel är den motstående kateten dividerat på hypotenusan (första bokstaven talar om vilken funktion de tär, andra bokstaven täljaren i bråket och sista bokstaven nämnaren i bråket. Se redogörelse ovan.).

Den motstående kateten till vinkel \( v\) är då sidan som helt enkelt finns mitt "framför" vinkeln du utgår från. I triangeln blir den motstående kateten då den som är 2,3 l.e. lång. Hypotenusan är alltid enkel att hitta – det är bara sidan som står mot den räta vinkeln. I detta fall är hypotenusan 6,73 l.e. lång. Därmed får vi att sinus för vinkeln \( v\) är 2,3 dividerat med 6,73

De sidor som cosinus behandlar kan vi lätt erinra oss med minnesregeln – adjacent (=närliggande) dividerat på hypotenuse. Den närliggande kateten till vinkeln \( v\) kan vi se är den sida som är 1,2 l.e. lång. Inte den som är 6,73 l.e., det där är ju hypotenusan. Om vi dividerar närliggande kateten på hypotenusan så får vi förhållandet som överensstämmer med facit.

Tangens för vinkeln \( v\) får vi genom att först identifiera den motstående och närliggande kateten, som vi redan har gjort (använd ditt formelblad eller minnesregeln). Vi får då att tangens för vinkeln \( v\) är 2,3 dividerat med 1,2.

För vinkeln \( u\) använder vi precis samma ansats. För att beräkna sinus för vinkeln \( u\) måste vi först identifera de olika sidorna. Vilket är den motstående kateten? Är det kanske den som är 2,3 l.e. lång igen? Nej, det är det inte – kom ihåg att man alltid utgår från vinkeln i fråga. Tittar du på vinkeln \( u\), så ser du att den sida som finns mitt framför (= motstående katet) den är den sida som är 1,2 l.e. lång. Hypotenusan är alltid hypotenusan – den är 6,73. Sinus för \( u\) är alltså 1,2 dividerat med 6,73.

Den närliggande kateten för vinkeln \( u\) ser vi är den sida som är 2,3 l.e. lång. Vi kan därför teckna cosinus för \( u\) med hjälp av akronymen CAH. Cosinus är närliggande katet dividerat på hypotenusan. Därför blir cosinus för \( u\) 2,3 dividerat på 6,73.

För att hitta tangens för \( u\) kan vi använda akronymen TOA. Vi ser då att tangens är den motstående kateten dividerat på den närliggande. Dessa har vi redan kunnat identifiera, därför blir tangens för \( u\) 1,2 dividerat med 2,3.


Artikeln skriven av Hadid Rehman. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 14 juni 2011. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Kommentarer är stängda