Sin, cos och tan (forts.)

Förutsatt att det inte är en okänd vinkel som sökes så är matematiska operationer med trigonometriska funktioner inget nytt – allt är precis som vanligt. Däremot blir det lite annorlunda när det är okända vinklar som skall beräknas ur trigonometriska funktioner. Mer om det längre ner.

Enkla ekvationer

Vi tar ett exempel där en okänd sida i en rätvinklig triangel (kom ihåg att de trigonometriska definitionerna endast gäller för en rätvinklig triangel!) – hur löser man följande ekvation?

\( \sin (30^\circ) = \frac {x}{2} \ .\)

Det kan se lite främmande ut med \( \sin 30^\circ\) i ekvationen men i själva verket är det inget nytt. Man kan flytta omkring det precis som om man skulle flytta omkring vilket tal som helst i en ekvation. Om vi nu vill lösa för \( x\) så måste få det ensamt. Vi multiplicerar därför båda led med \( 2\) för att få \( x\):et ensamt.

\( \sin (30^\circ) = \frac {x}{2} \\ 2 \cdot \sin (30^\circ) = 2 \cdot \frac {x}{2} \ .\\\)

Vi kan då stryka tvåorna i högerled och vi har då löst ut \( x\). I vänsterled har vi \( 2 \cdot \sin 30^\circ\). För att beräkna detta värde så måste det slås in på räknaren, som för \( 2 \cdot \sin 30^\circ\) blir \( 1\). Alltså:

\( 2 \cdot \sin (30^\circ) = \not{2} \cdot \frac {x}{\not{2}}\\ 2 \cdot \sin (30^\circ) = x\\ \boxed{x = 1} \ .\)

––––––––––––––––

Vi tar ett ytterligare exempel. Ekvationen nedan skall lösas

\( x \cdot \sin (67^\circ) = 42 \ .\)

Vi måste få \( x\) ensamt och för att få det måste vi få bort \( \sin (67^\circ)\). Viktigt att kommma ihåg är att det inte är något främmande – man kan flytta omkring det precis som vanligt. Vi delar helt enkelt alltså båda led med \( \sin (67^\circ)\). Vi kan då stryka det i vänsterled.

\( \frac{x \cdot \sin (67^\circ) }{\sin (67^\circ)} = \frac{42}{\sin (67^\circ)} \\\frac{x \cdot \sin (67^\circ) }{\sin (67^\circ)} = \frac{42}{\sin (67^\circ)} \\x = \frac{42}{\sin (67^\circ)} \ .\\\)

Högerledet får vi helt enkelt slå in på räknaren och erhåller då

\(\boxed{ x \approx 45,6} \ .\)

Okända vinklar

Hur gör vi om vi söker en okänd vinkel? Om vi exempelvis har ekvationen

\( \cos (x) = \frac{1}{2}\)

Ekvationen låter oss bestämma vilken vinkel \( x\) som ger oss cosinusvärdet \( \frac{1}{2}\). Men frågan är hur man får ut \( x\). Vi måste på något sätt få bort \( \cos\) som står framför \( x\). Problemet är att det inte går med “vanliga” matematiska operationer (addition, subtraktion, multiplikation o.s.v.) – ett nytt verktyg måste introduceras.

För hitta vinkeln \( x\) så måste vi ta den inversa funktionen av cosinus för bägge led. Vad menas med en invers funktion? Precis som cosinus för en vinkel ger oss kvotet mellan två olika sidor i en triangel, så gör inversfunktionen det motsatta – den ger oss vinkeln som för ett visst kvot. Så, om man känner till ett kvot men inte vinkeln, så kan man helt enkelt använda den inversa funktionen av en trigonometrisk funktion för att finna vinkeln som ger detta kvot.

De inversa funktionerna har då en beteckning av sina egna. Man brukar skriva de som \( \sin^{-1}\), \( \cos^{-1}\) och \( \tan^{-1}\). Det finns också en annan, äldre beteckning som också förekommer nämligen \( \arcsin\), \( \arccos\) och \( \arctan\). Egentligen är det mer vanligare att använda de sistnämnda, men det spelar egentligen inte någon roll vilken av dem som man använder (vi använder de sistnämnda framöver).

De inversa funktionerna används precis som de vanliga trigonometriska funktionerna – man slår in det helt enkelt på räknaren bara. Vi tar den tidigare ekvationen som exempel.

\( \cos (x) = \frac{1}{2}\)

Vi börjar med att ta \( \arccos\) i bägge led. Viktigt att komma ihåg — det man gör på ena sidan, måste man göra på den andra. Vi skriver dit det

\( \arccos \left( \cos (x) \right) = \arccos \left( \frac{1}{2} \right)\)

Kvar i vänsterledet får vi bara kvar \( x\) tack vare den inversa funktionen av cosinus – då försvinner \( \cos\) helt enkelt. För att få ett värde på uttrycket i högerled så måste vi slå det på räknaren. På en räknedosa från Texas Instruments så behöver man bara trycka på 2ND-knappen och sedan på den trigonometriska funktion som man vill ha invers av. Sedan matar man in det kvot man vill beräkna för (har du en annan räknedosa så kan du kolla med din matematiklärare eller prova söka på nätet).

Vi kan därför slutföra lösningen med att skriva dit värdet av \( \arccos \left( \frac{1}{2} \right)\) som då blir 60° (räknaren visar bara 60 men det är ju en vinkel).

\(\boxed{ x = 60^\circ} \ .\)

Övningar

ÖvningsuppgiftSvarLösning
1. Lös ekvationerna

a)   \( \frac x{\sin (30^\circ)} = 4 \ . \)

b)   \( 3x + \sin (65^\circ) = 5x + \sin (21^\circ) \ . \)

c)   \( 2 \cdot \sin(x) = \frac 45 \ . \)

d)   \( \frac {\cos (45^\circ)}{\sin (x)} = \frac {50}{\cos (60^\circ)} \ . \)

a)   \( x = 2 \ . \)

b)   \( x \approx 0,27 \ . \)

c)   \( x \approx 23,6^\circ \ . \)

d)   \( x \approx 0,405 \ . \)

 

ÖvningsuppgiftSvarLösning
2. Bestäm \( x\) ur nedanstående figurer med hjälp av trigonometri.

a)
triangle1sincostan2

b)
triangle2sincostan2

c)
triangle3sincostan2

d)
triangle4sincostan2

a) \( x \, \approx \, 14.5^\circ \ .\)

b) \( x = 45^\circ \ .\)

c) \( x \, \approx \, 2.5 \ .\)

d) \( x \, \approx \, 3.5 \ .\)

Artikeln skriven av Hadid Rehman. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 15 juni 2011. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Comments are closed