Talet e

Talet \( e\) är en konstant som utgör basen för den naturliga logaritmen, \( \ln\). Talet är ungefär lika med 2.71828. Detta fantastiska tal har egenskapen att

\( \frac{d}{dx} e^x = e^x,\)

och detta är faktiskt anledningen till att talet finns!

\( e \approx 2.718281828 \ .\)

 

Uppkomst

När man på 1700-talet studerade derivator så studerade man derivatan av \( a^x\) istället för \( x^a\). Man försökte derivera \( a^x\) med derivatan definition för att få detta resultat

\( \lim_{h\to 0} \frac{a^{x+h}-a^x}{h} = a^x \cdot \lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h} \ .\)

Detta konstiga gränsvärde verkade endast vara en konstant. Då tänkte man att det vore himla smidigt om man kunde bestämma \( a\) så att \( \lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h} = 1\) eftersom då skulle derivatan av \( a^x\) för detta \( a\) vara lika med \( a^x\)! Vad smidigt. Man kom fram till att det \( a\) som gav resultatet \( \lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h} = 1\) var talet 2.71828..., som man kallade för \( e\). Talet \( e\) är, liksom \( \pi\), irrationellt och kan därför aldrig uttryckas exakt som ett bråk.

Man kom fram till att definitionen av talet \( e\) är lika med gränsvärdet

\(e = \lim_{n \to 0} \left(1+n\right)^{\frac{1}{n}} \ .\)

Man kan även skriva talet \( e\) som en oändlig summa

\(e = \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+... = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!},\)

där \( n! \) betecknar fakultetsfunktionen. Här kan man läsa om hur summasymbolen (\( \sum\)) fungerar.

 

Användningsområde

Eftersom \( e^x\) har så enkel derivata så används oftast talet \( e\) som bas till alla exponentialfunktioner, som man kan tänka behöva derivera, med tanke på den enkla derivatan. Eftersom talet \( e\) är bas till den naturliga logaritmen så är funktionerna \( f(x) = e^x\) och \( g(x) = \ln(x)\) varandras inverser.

 

En annan beteckning för \( e^x\) är \( \exp(x)\), en förkortning för exponential. I övrigt förekommer talet \( e\) lite varstans i matematiken.

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 12 januari 2011. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Comments are closed