Introduktion till derivata

Derivatan av en funktion talar om dess förändringshastighet, hur funktionen ändras viss en given punkt. Hur mycket den minskar eller ökar. Låt oss studera derivatan i punkter för ett par funktioner utan att använda oss av någon formell definition, det är fullt möjligt att göra detta grafiskt.

 

der_kurva1                  der_kurva2

 

Genom att studera lutningen på tangenten (den röda linjen) till kurvan i en viss punkt kan vi se hur funktionen minskar eller ökar. Lutningen är derivatan i just denna punkt.

 

der_kurva3             der_kurva4

 

Som du ser så kommer förändringshastigheten att förändras beroende på vart vi befinner oss på kurvan. Det är för att derivatan av en funktion är en ny funktion! Den nya funktionen talar om hur förändringarna sker på hela funktionen som deriverades. Och genom att stoppa i värden i denna nya funktion så man kan se exakt hur den deriverade funktionen förändras i en viss punkt (värdena man anger säger vilken punkt det handlar om). Det vi har tittat på hittills är derivatan i specifika punkter. I de kommande artiklarna kommer vi att se på hur man faktiskt deriverar en funktion, hur man får den där nya funktionen, men innan vi tar till matematik så skall vi prata mer om derivatan.

 

Varför derivata?

Derivata är ett så viktigt begrepp därför att det låter oss på ett väldigt precist sätt avgöra hur funktioner växer eller minskar beroende på indata. I naturvetenskapliga modeller av världen eller t.ex. ekonomiska modeller är det givetvis viktigt att förstå förändringar och det är därför inte konstigt att derivata dyker upp överallt inom dessa. Låt oss säga att du har en funktion som talar om hur många bakterier det befinner sig i en kultur vid ett visst ögonblick. Då talar derivatan av denna funktion om hur stor tillväxthastigheten är vid en viss tidpunkt, alltså hur många bakterier per sekund som delar sig (eller dör) i just det ögonblicket. Derivatan kan tala om hur mycket skatten ökar med en växande inkomst. Om du har en funktion som talar om hur långt en asteroid har färdats efter en viss tid, då talar derivatan om hur fort asteroiden rör sig. Hastighet överhuvudtaget är en derivata. Låt oss titta närmare på detta.

 

bil_graf

Vi har en funktion som talar om hur långt en bil färdats efter en viss tid, och vi har skapat en graf över detta. t är tiden och y talar om hur långt i meter bilen har rört sig.

 

Vid tiden 0 stiger någon in i bilen och börjar köra, efter en stund så kommer ett rödljus och bilen är tvungen att stanna. Det ser vi på grafen också, den har inte rört sig på y-axeln (sträckan markerat med blått). Det är ett rakt sträck. Men efter att en tid har passerat slår det om till grönt och bilen röra på sig igen och kurvan växer på y-axeln. Vad får vi om vi gör som vi lärde oss tidigare? Dvs att studera kurvans lutning i en viss tidpunkt?  Lutningen talar om hur kurvan växer/sjunker. I vårt fall talar den om hur många meter per sekund som den växer med. Och meter per sekund, m/s, är ju hastighet! När den står stilla, så är det en horisontell sträcka, en horisontell linje har lutningen 0, då växer kurvan med noll meter per sekund, alltså har bilen hastigheten noll där. Och när den kör så växer kurvan och vi har en lutning, en hastighet över noll.

 

Acceleration är också en derivata eftersom den talar om hur hastighet förändras, det är derivatan av hastighet. Derivatan av en derivata kallas andraderivata. Det finns många fler storheter som är derivator förutom hastighet och acceleration, men det är värt att nämna just dessa eftersom vi alla är mer eller mindre bekanta med begreppen. Lärdomen vi kan ta från detta är att man kan se vad derivatan handlar om när vi vet vad de olika axlarna (vad vi stoppar in i funktionen och vad den ger oss) är för några.

 

Derivata utgör också ett grundbegrepp inom analysen (ett stort område inom matematiken). Om du planerar att studera djupare matematik och fysik så är det oerhört viktigt att du behärskar detta begrepp. Det innebär att du bör lära dig definitionen, reglerna, hur man avgör maximum samt minimum på kurvor med hjälp av derivata. Allt detta kommer att behandlas i senare artiklar.


Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 16 januari 2010. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Kommentarer är stängda