Bevis av enkla deriveringsregeln

Denna artikel innehåller endast ett bevis av den enkla deriveringsregeln. Den kräver att man känner till binomialsatsen.

Sats: \( \frac{d}{dx}k \cdot x^{n} = n \cdot k \cdot x^{n-1}\)

Bevis: Vi använder bara derivatans definition helt enkelt. Vi kan sätta \( y = kx^n\) först, så får vi \( y'\) genom

\(y' = \lim_{h\to 0} \frac{k(x+h)^n-kx^n}{h} = \)!\mathrm{Utveckling m. binomialsatsen}\( = \\ = \lim_{h\to 0} \frac{k\left(x^n+{n\choose 1}x^{n-1}h + {n\choose 2}x^{n-2}h^2+...+{n\choose n-1}xh^{n-1} + h^n\right)-kx^n}{h} \\ = \lim_{h\to 0} \frac{k\left({n\choose 1}x^{n-1}h + {n\choose 2}x^{n-2}h^2+...+{n\choose n-1}xh^{n-1} + h^n\right)}{h} \\ = \lim_{h\to 0} \frac{kh\left({n\choose 1}x^{n-1} + {n\choose 2}x^{n-2}h+...+{n\choose n-1}xh^{n-2} + h^{n-1}\right)}{h} \\ = \lim_{h\to 0} k\left({n\choose 1}x^{n-1} + {n\choose 2}x^{n-2}h+...+{n\choose n-1}xh^{n-2} + h^{n-1}\right)\)

En grej som inte togs upp i binomialartikeln är att vi vet att \( {n \choose 1} = n\), och eftersom alla termer utom den första innehåller minst ett \( h\), så går alla termer förutom den första, mot 0. Så det gör att vi har

\(y' = \lim_{h\to 0} k\left(nx^{n-1} + {n\choose 2}x^{n-2}h+...+{n\choose n-1}xh^{n-2} + h^{n-1}\right) = k \cdot n \cdot x^{n-1} \ .\)

V.S.B.

Kommentar

Det är värt att ta upp att det finns ytterligare 2-3 bevis av denna sats, som jag kanske kommer ta upp i kommande artiklar.


Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 6 januari 2011. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Kommentarer är stängda