Enkla deriveringsregler

Det finns en mängd regler för hur man deriverar funktioner. Kan man dessa behöver man inte ta den långa vägen med derivatans definition för att derivera. Den enklaste och mest användbara deriveringsregeln är

\( \boxed{\frac{d}{dx}kx^{n} = n \cdot kx^{n-1}},\)

där \( k\) är en konstant och \( n\) ett reellt tal som inte är lika med 0. En konstant före något man deriverar påverkas aldrig (detta gäller alla deriveringsregler).

Bevis av denna deriveringsregeln hittar man här.

En konsekvens av detta är t.ex. att derivatan av en konstant lika med 0. Detta är också ganska logiskt eftersom t.ex. linjen \( y = 5\) bara är en horisontell linje och inte har någon lutning!

Det är väldigt enkelt att visa detta med derivatans definition också. Om vi låter \( f(x) = C\) så får vi att

\( f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{C-C}{h} = 0 \ .\)

Detta blir lika med 0 eftersom uttrycket redan är 0 "före" vi låter \( h \to 0\), så den delen påverkar inte. Det är viktigt att förstå att \( h \to 0\) inte betyder att \( h = 0\).

 

Exempel

Derivera

a) \( x^2\)

b) \( 3x^3\)

c) \( 5x\)

Lösningar

a) Den generella deriveringsregeln (som den kommer bli refererad som) säger att om \( y = x^2\) så är derivatan \( y' = 2 \cdot x^{2-1} = 2 \cdot x^{1} = 2x\)

b) \( f(x) = 3x^3 \ \Rightarrow \ f'(x) = 3 \cdot 3x^{3-1} = 9x^{2}\)

c) \( \frac{d}{dx} 5x = 1 \cdot 5 x^{1-1} = 1 \cdot 5 \cdot 1 = 5\)

Det vi gör är alltså att multiplicera ner exponenten och drar bort 1 från exponenten.

 

Derivatan av en summa eller differens

Om man har flera termer och önskar att derivera summan eller differensen av dessa termer så deriverar man termerna för sig. Formellt:

\( \boxed{\left(v\pm w\right)' = v' \pm w'}\)

 

Exempel

Derivera

a) \( y = x^2+5\)

b) \( y = 4x^2+4x+2\)

c) \( y = \frac{1}{x^4}\)

 

Lösningar

a) \( y' = 2x+0 = 2x\)

b) \( y' = 8x+4+0 = 8x+4\)

c) Här använder vi sambandet \( \frac{1}{x^n} = x^{-n}\)  för att skriva \( y = \frac{1}{x^4} = x^{-4}\) som vi sedan kan derivera med den generella deriveringsregeln.

\( y' = -4 \cdot x^{-4-1} = -4 \cdot x^{-5} = -\frac{4}{x^5}\)

Övningar med lösningar

Derivera uttrycken med deriveringsreglerna

a)Svar
\( y=3x^2\)
\( y' = 6x\)

 

b)Svar
\( y=4x^2+29\)
\( y' = 8x\)

 

c)TipsSvar
\( y=\frac{1}{x}\)
Använd att \( \frac{1}{x} = x^{-1}\)
\( y' = -\frac{1}{x^2}\)

 

d)Svar
\( y=8x^5+x^3\)
\( y' = 40x^4+3x^2\)

 

e)TipsSvar
\( y=\sqrt{x}\)}
Använd att \( \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\)
\( y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)

 

f)Svar
\( y=x+x^{\frac{3}{2}}\)
\( y' = 1+\frac{3\sqrt{x}}{2}\)

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 17 januari 2010. Senast uppdaterad 8 maj 2016.

Kommentarer är stängda