Aritmetisk talföljd och summa

Aritmetiska talföljder är talföljder som ökar eller minskar med ett konstant värde. Till exempel är följande talföljder aritmetiska:

1. \( 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ 13,\ 15, ... \)

2.\( -16,\ -20,\ -24,\ -28,\ -32, ... \)

Den första talföljden ökar hela tiden med 2, och den andra talföljden minskar hela tiden med 4. Detta konstanta värde kallas differensen, och brukar betecknas med \( d\). I första talföljden är \( d =2\) och i andra \( d=-4\).

Det är mycket lätt att beräkna differensen, du tar ett tal i talföljden, sedan tar du talet precis förgående och subraherar det första du valde med det föregående. Om vi återgår till den första talföljden så kan vi välja talet 11, då är det föregående talet 9, då blir differensen \( d = 11-9 = 2\). I andra talföljden kan vi välja −32 och −28, och vi får då \( d = -32 - (-28) = -32 + 28 = -4\). Om du testar själv kan du se att differensen alltid är den samma i de olika talföljderna. (om den inte är det så är det inte en artimetisk talföljd!)

Med andra ord kan man beräkna differensen som \( d = a_n - a_{n-1}\)

 

Den n:te termen i en aritmetisk talföljd

Det finns en relativt lätt formel för att beräkna den n:te termen i en aritmetisk talföljd. Den lyder

\( a_n = a_1 + d(n-1)\)

där \( a_1\) är den första termen i följden, \( d\) differensen och \( n\) numret på termen man vill beräkna.

 

Exempel

1. Beräkna den 21:a termen i talföljden \( 4,\ 8,\ 12,\ 16,\ 20,...\).

Lösning:

Vi kan beräkna differensen som \( d = 8-4 = 4\). Den första termen är \( a_1 = 4\). Det gör att \( a_n = 4+4(n-1)\). Den 21:a termen i talföljden är således

\( a_{21} = 4+4(21-1) = 4 + 4 \cdot 20 = 84 \ .\)

 

2. Betrakta talföljden \( ...,429,\ 445,\ 461,\ 477,...\) där 477 är den 30:e termen. Vilken är den 73:e termen?

Lösning:

Vi kan beräkna differensen som \( d = 445-429 = 16\). Vi vet att den 30:e termen är 477. Det första vi vill göra är att beräkna den första termen så att vi kan beräkna den n:te termen enligt formeln \( a_n = a_1 + d(n-1)\).

Med den information vi nu har kan vi beräkna den första termen.

\( 477 = a_1+16(30-1) \ \Leftrightarrow \ a_1 = 477-16 \cdot 29 = 13\)

Nu kan vi beräkna den 73:e termen utan problem.

\( a_{73} = 13 + 16(73-1) = 13 + 16 \cdot 72 = 1165 \ .\)

 

Aritmetisk summa

En aritmetisk summa är summan av alla termer i en viss aritmetisk talföljd. En summa av termer där avstånden mellan termerna är lika stora. Om vi har en aritmetisk summa; \( 1+2+3+4+...+9+10\) kan vi ganska lätt beräkna den genom att bara summera alla termer. Men det finns mer generella metoder för att beräkna en aritmetisk summa. Ett sätt är att skriva upp summan två gånger över/under varandra men vända håll på den ena.

\( 1+2+3+4+...+9+10 \\ 10+9+...+4+3+2+1\)

Om man nu summerar en kolumn i taget får man \( (1+10)+(2+9)+(3+8)+...(10+1)\) och då kan man observera att varje parentes är lika med 11. Antalet parenteser är lika med antalet termer i den ursprungliga summan, det vill säga 10. Suman kan då skrivas som \( (1+10)+(2+9)+(3+8)+...(10+1) = 10 \cdot 11\). Men eftersom vi summerade ihop termerna ur två stycken av samma summa, måste den ursprungliga summan, \( 1+2+3+4+...+9+10\), vara lika med

\( 1+2+3+4+...+9+10 = \frac{10 \cdot 11}{2} = 5 \cdot 11 = 55\ .\)

Den generella formeln för att beräkna en aritmetisk summa är

\(S_n = a_1+a_2+a_3+..+a_{n-1}+a_n = \sum_{i = 1}^n a_i = \frac{n(a_1+a_n)}{2} \ .\)

där \( n\) är antalet termer, \( a_1\) den första termen och \( a_n\) den n:te termen. Här kan man läsa om hur summasymbolen (\( \sum\)) fungerar.

 

Exempel

3. Beräkna summan \( 4+8+12+16+20+...+68+72\).

Lösning:

I exempel 1. så beräknade vi att differensen \( d = 4\). Vi kan nu ta reda på antalet termer i summan.

\( 72 = 4 + 4(n-1) \ \Leftrightarrow \ 68 = 4(n-1) \ \Leftrightarrow \ n-1 = 17 \ \Leftrightarrow \ n = 18\)

Enligt formeln \( S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}\) blir då summan

\( S_{18} = 4+8+12+16+20+...+68+72 = \frac{18(4+72)}{2} = 9 \cdot 76 = 684 \ .\)

 

4. Beräkna summan av de 24 första termerna i följden \( 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,...\).

Lösning:

Differensen är \( d = 1\). Det vi vill göra är att beräkna den 24:e termen för att kunna tillämpa summaformeln.

\( a_{24} = 5+1\cdot (24-1) = 5+23 = 28 \ .\)

Summan av de 24 första termerna blir då

\( S_{24} = \frac{24(5+28)}{2} = 12 \cdot 33 = 396 \ .\)

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 13 mars 2010. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Comments are closed