Rotekvationer

Den här artikeln behandlar ämnet rotekvationer, som helt enkelt är ekvationer som innehåller rotuttryck. Några exempel på rotekvationer är

  • \( \sqrt{x^2+4} + 4 = x\)
  • \( \sqrt{x^2+6} = x^2\)
  • \( \sqrt{t+2}-\sqrt{t} = 5\)

Att lösa rotekvationer är egentligen inte särskilt annorlunda från lösning av enklare ekvationer, med det enda undantaget att man ibland kan behöva kontrollera sina lösningar.

Innan vi börjar måste vi ha klart för oss vad vi menar med rottecknet. Vad betyder exempelvis \(\sqrt{a}\)? Den definition vi använder är att \(\sqrt{a}\) är det tal \(x\) som uppfyller följande två krav:

  • är icke-negativt (dvs. större än eller lika med 0), och
  • multiplicerat med sig självt blir \(a\).

Med andra ord: \(\sqrt{a}\) är den icke-negativa lösningen (ett annat ord för lösning är just rot) till ekvationen \(x^2=a\). Exempelvis är \(\sqrt{9}=3\), eftersom 3 är den icke-negativa roten till \(x^2=9\).

Det finns två saker som är viktiga att påpeka. Det ena är att \(\sqrt{a}\) inte är definierat om \(a<0\). Det finns helt enkelt inget tal på tallinjen som gånger sig självt blir ett negativt tal! Det andra är att om \(\sqrt{a}\) är definierat, så är det alltid ett enda tal. Ekvationen \(x^2=9\) har visserligen två lösningar, \(x=3\) och \(x=-3\), men med \(\sqrt{9}\) syftar vi enbart på den icke-negativa lösningen 3.  En vanlig uppfattning är att \(\cancel{\sqrt{9}=\pm 3}\), vilket stämmer enligt vissa läromedels definitioner, men är direkt felaktigt utifrån vår definition.

Lösningsgång

Den generella lösningsgången för en rotekvation är grundat på identiteten \( \left(\sqrt{x}\right)^2 = x\), som kommer direkt från hur vi har definierat rottecknet (gå tillbaka och jämför med definitionen i början av artikeln). Det vi främst vill göra är att få rotuttrycket ensamt i ett led för att därefter kvadrera båda led, så att rotuttrycket försvinner. Det är viktigt att känna till att \( \sqrt{a+b}\) i allmänhet inte är samma sak som \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\).

Lösningen på den första exempelekvationen skulle se ut något i stil med

 \( \sqrt{x^2+4} + 4 = x \ \Leftrightarrow \ \sqrt{x^2+4} = x-4 \ \Rightarrow \ /\mathrm{Kvadrering}/ \ \Rightarrow \ x^2+4 = \\ = (x-4)^2 = x^2-8x+16 \ \Leftrightarrow \ 4 = -8x+16 \ \Leftrightarrow \ 8x = 12 \ \Leftrightarrow \ x = \frac{3}{2}\,.\)

Vid vanlig ekvationlösning hade vi varit klara nu, men pga. kvadreringen (mer om det nedan) måste vi kolla om den lösning vi fick fram verkligen är en lösning. Vi sätter därför in den i ursprungsekvationen, och kollar om vänsterledet blir lika med högerledet

\( \mathrm{VL} = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2+4} + 4 = \sqrt{\frac{9+16}{4}} + 4 = \sqrt{\frac{25}{4}} + 4= \frac{5}{2} + 4 = \frac{5+8}{2} = \frac{13}{2} \neq \frac{3}{2} = \mathrm{HL}\)

Här är fallet att vår rot, \( x = \frac{3}{2}\), inte löste ekvationen och därmed är \( x = \frac{3}{2}\) en så kallad falsk rot. Av detta drar vi slutsatsen att ursprungsekvationen inte har några lösningar.

Varför får man falska rötter?

Orsaken till att man ibland råkar ut för falska rötter när man löser rotekvationer är kvadreringen. När man höjer upp båda leden av ekvationen till två förlorar man nämligen en del av den information som finns lagrad i ursprungsekvationen. För att ta ett väldigt simpelt exempel, anta att ursprungsekvationen är

\(x=3\,.\)

Det är förstås ett rätt så löjligt exempel, eftersom lösningen uppenbarligen är precis \(x=3\). Men låt oss se vad som händer när vi kvadrerar båda led. Ekvationen blir då

\(x^2=9\,,\)

och när vi löser denna är det inte längre lika uppenbart vad \(x\) är. Som du säkert redan vet uppfylls likheten nämligen av både \(x=3\) och \(x=-3\). Vi gick med andra ord från en enda lösning till två lösningar när vi kvadrerade, och det där just detta som är problemet. När man kvadrerar en ekvation blir den i någon mening mindre "specifik", och extra, falska lösningar kan dyka upp.

falskrot_copy

Övningar och lösningar

Lös rotekvationerna

a)SvarLösning
\( \sqrt{u-3} = u-5\)
\( u = 7\)
Kvadrering direkt ger ekvationen

\( u-3 = (u-5)^2 = u^2-10u+25 \ \Leftrightarrow \ u^2 -11u + 28 = 0,\)

som har lösningarna \( u_1 = 7, \ u_2 = 4\). Prövning av lösningarna ger därefter att

\(\mathrm{VL} = \sqrt{4-3} = \sqrt{1} = 1 \neq 4-5 = -1 = \mathrm{HL} \ \Rightarrow \ \mathrm{Falsk\, rot}\)

\(\mathrm{VL} = \sqrt{7-3} = \sqrt{4} = 2 = 7-5 = 2 = \mathrm{HL}\)

b)SvarLösning
\( \sqrt{x-5} = -3\)
Ingen lösning.
Eftersom roten ur något aldrig kan vara negativt så gäller \(\sqrt{x-5} \geq 0\) och därmed har ekvationen \(\sqrt{x-5} = -3\) inga lösningar.
c)SvarLösning
\( \sqrt{4t+1} = 3-3t\)
\( t = \frac{4}{9}\)
Kvadrering av båda led ger

\( 4t+1 = (3-3t)^2 = 9-18t+9t^2 \ \Leftrightarrow \ 9t^2-22t+8 = 0,\)

som har lösningarna \( t_1 = 2, \ t_2 = \frac{4}{9}\). Prövning av rötterna ger

\(\mathrm{VL} = \sqrt{4 \cdot 2 + 1} = \sqrt{9} = 3 \neq 3 - 3 \cdot 3 = -3 = \mathrm{HL} \ \Rightarrow \ \mathrm{Falsk\,rot}\)

\(\mathrm{VL} = \sqrt{4 \cdot \frac{4}{9} + 1} = \sqrt{\frac{16+9}{9}} = \frac{5}{3} = 3-3 \cdot \frac{4}{9} = \\ = \frac{27-12}{9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3} = \mathrm{HL}\)

d)SvarLösning
\( x+2+\sqrt{x^2+2}-12=0\)
\( x = \frac{49}{10}\)
Vi börjar med att lösa ut roten, så vi kan kvadrera båda leden.

\(x+2+\sqrt{x^2+2}-12=0\Leftrightarrow \sqrt{x^2+2} = 10-x \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x^2+2 = (10-x)^2 = 100-20x+x^2 \Leftrightarrow 20x = 98 \Leftrightarrow x=\frac{98}{20}=\frac{49}{10}\)

Prövning av roten ger

\( \mathrm{VL} = \frac{49}{10} + 2 + \sqrt{\left(\frac{49}{10}\right)^2+2} - 12 = \frac{49-100}{10} + \sqrt{\frac{2401+200}{100}} = -\frac{51}{10} + \frac{51}{10} = 0 \ \mathrm{HL}\)


Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 16 januari 2011. Senast uppdaterad 13 oktober 2016.

Kommentarer är stängda