Bevis av logaritmlagarna

Första logaritmlagen

Sats:

\( \lg(x)+\lg(y) = \lg(x\cdot y)\)

 

Bevis:

\( x \cdot y = \begin{cases}10^{\lg(x \cdot y)} \\ 10^{\lg(x)} \cdot 10^{\lg(y)} = 10^{\lg(x)+\lg(y)}\end{cases}\)

ger ekvationen

\( 10^{\lg(x \cdot y)} = 10^{\lg(x)+\lg(y)} \ \Leftrightarrow \ \lg(x \cdot y) = \lg(x)+\lg(y) \ .\)

V.S.B.

Andra logaritmlagen

Sats:

\( \lg(x)-\lg(y) = \lg\left(\frac{x}{y}\right)\)

 

Bevis:

\(\frac{x}{y} = \begin{cases}10^{\lg\left(\frac{x}{y}\right)} \\ \frac{10^{\lg(x)}}{10^{\lg(y)}} = 10^{\lg(x)-\lg(y)}\end{cases}\)

ger ekvationen

\( 10^{\lg\left(\frac{x}{y}\right)} = 10^{\lg(x)-\lg(y)} \ \Leftrightarrow \ \lg\left(\frac{x}{y}\right) = \lg(x)-\lg(y) \ .\)

V.S.B.

Tredje logaritmlagen

Sats:

\( \lg(x^y) = y\lg(x)\)

Bevis:

\( x^y = \begin{cases}10^{\lg(x^y)} \\ \left(10^{\lg(x)}\right)^y = 10^{y\lg(x)}\end{cases}\)

ger ekvationen

\( 10^{\lg(x^y)} = 10^{y\lg(x)} \ \Leftrightarrow \ \lg(x^y) = y\lg(x) \ .\)

V.S.B.

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 18 februari 2011. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Comments are closed