Logaritmer

I Matematik A, eller kanske redan tidigare än så, lär man sig att lösa potensekvationer, dvs. ekvationer på formen

\( x^a = b \ .\)

Men om man har en ekvation, säg

\( 24^x = 331776,\)

hur bär man sig åt att lösa denna ekvation? Det är nu logaritmer kommer till undsättning.

 

Definition

Logaritmen är definerad att logaritmen av ett tal, \( b\), är den exponent, \( x\) man måste upphöja basen \( a\) för att få \( b\). Ett ekvivalent sätt att uttrycka definitionen på är

\( a^x = b \ \Leftrightarrow \ x = \log_{a}(b) \ .\)

Tiologaritmen, baser och notation

Tiologaritmen är ett namn på logaritmen som använder basen 10 och är ofta praktisk att använda. Den används t.ex. för att beräkna pH-värden i kemin och för att beräkna ljudnivå i form av decibel. Tiologaritmen brukar skrivas som

\( \log_{10}(b),\ \log(b),\ \lg(b) \ .\)

På samma sätt kan man använda logaritmen med basen 2, men den används inte i lika stor utsträckning som tiologaritmen och naturliga logaritmen (med basen e). Tvålogaritmen brukar skrivas

\( \log_{2}(b),\ \mathrm{lb}(b) \ .\)

Det kan vara värt att veta att den naturliga logaritmen använder basen e och att den brukar skrivas

\( \log_e(b),\ \ln(b) \ .\)

Det kan vara viktigt att veta att vissa (speciellt engelska) läroböcker/författare använder notationen \( \log(b)\) för den naturliga logaritmen, eftersom det är den som används i allra störst utsträckning inom matematiken. I denna artikel använder jag \( \lg(b)\) som tiologaritm och \( \ln(b)\) som naturliga logaritmen. Det kommer mer om den senare.

 

Exempel

Lös ekvationerna

  1. \( 10^x = 500\)
  2. \( 5^x = 52\)

 

Lösningar

1. Av definitionen av logaritmen får vi direkt

\( 10^x = 500 \ \Leftrightarrow \ x = \lg(500) \approx 2.7 \ .\)

2. Om vi gör på samma vis här, fast med femlogaritmen får vi

\( 5^x = 52 \ \Leftrightarrow \ x = \log_5(52) \ .\)

 

Logaritmlagarna

Det finns tre viktiga logaritmlagar. Dessa är sambanden

\( \boxed{\lg(x) + \lg(y) = \lg(x \cdot y) \\ \lg(x) - \lg(y) = \lg\left(\frac{x}{y}\right) \\ \lg(x^y) = y \cdot \lg(x)}\)

Bevisen av dessa är inte svåra och kräver endast att man känner till potenslagarna och definitionen av logaritmen.

 

Att skriva om potenser till lämpliga baser

På de flesta (läs: nästan alla) miniräknare finns endast en \( \log\)- och en \( \ln\)-knapp. Hur bär man sig då åt om man vill beräkna säg

\( \log_{12}(1728) \ \mathrm{eller} \ \log_5(52)\)?

Det första som man vill notera är att \( 10^{\lg(x)} = x\) eftersom \( \lg(x)\) är det talet man tar \( 10\) upphöjt till för att få \( x\) kommer de att "ta ut" varandra. Vid första ögonkastet kanske det inte är lätt att greppa. Generellt gäller alltså

\( b^{\log_b(x)} = x \ .\)

Men hur hjälper detta oss för att beräkna värdet av en femlogaritm eller tolvlogaritm? Genom att skriva

\( \log_5(52) = x \ \Leftrightarrow \ 52 = 5^x\)

kan vi sedan skriva om vänsterled som

\( 5^x = 10^{\lg\left(5^x\right)} = /\mathrm{Tredje logaritmlagen}/= 10^{x\lg(5)},\)

som ger ekvationen

\( 52 = 10^{x\lg(5)} \ \Leftrightarrow \ \lg(52) = x\lg(5) \ \Leftrightarrow \ x = \frac{\lg(52)}{\lg(5)} \approx 2.46 \ .\)

Detta betyder att vi fått resultatet

\( \log_5(52) \approx 2.46 \ .\)

Att beräkna \( \log_{12}(1728)\) lämnas som övning till läsaren.

 

En mer effektiv approach att beräkna logaritmer med "dålig" bas

Istället för att göra den relativt långa omskrivningen kan man istället direkt logaritmera båda led på samma sätt som man kan multiplicera ett tal i båda led av en ekvation utan att ändra något. Detta gör att vi direkt kan skriva

\( 52 = 5^x \ \Leftrightarrow \ \lg(52) = \lg(5^x) \ \Leftrightarrow \ \lg(52) = x\lg(5) \ \Leftrightarrow \ x = \frac{\lg(52)}{\lg(5)} \approx 2.46 \ .\)

Det spelar ingen roll om man väljer att logaritmera med naturliga logaritmen. Så

\( x = \frac{\ln(52)}{\ln(5)} \approx 2.46\)

ger precis samma resultat.

 

Övningar och lösningar

 

Lös ekvationerna

Uppgift a)SvarLösning
\( 12^x = 1728\)
\( x = 4\)
\( 12^x = 1728 \ \Leftrightarrow \ \lg(12^x) = \lg(1728) \ \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \ x\lg(12) = \lg(1728) \ \Leftrightarrow \ x = \frac{\lg(1728)}{\lg(12)} = 4 \ .\)
Uppgift b)SvarLösning
\( 4^{4x} = 444\)
\( x \approx 1.099\)
\( 4^{4x} = 444 \ \Leftrightarrow \ \ln(4^{4x}) = \ln(444) \ \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \ 4x\ln(4) = \ln(444) \ \Leftrightarrow \ x = \frac{\ln(444)}{4\ln(4)}\approx 1.099 \ .\)
Uppgift c)SvarLösning
\( 15^{\frac{1}{2} x} = 150\)
\( x \approx 3.701\)
\( 15^{\frac{1}{2} x} = 150 \ \Leftrightarrow \ \lg(15^{\frac{1}{2} x}) = \lg(150) \ \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \ \frac{1}{2} x\lg(15) = \lg(150) \ \Leftrightarrow \ x = \frac{2\lg(150)}{\lg(15)} \approx 3.701 \ .\)

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 18 februari 2011. Senast uppdaterad 7 maj 2016.

Comments are closed