Kvadratkomplettering

När man kvadratkompletterar skriver man om ett andragradspolynom i kvadratisk form.

Generellt ser det ut på följande sätt

\( x^2 + px + q = \left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2 + q,\)

som man kanske känner igen från härledningen av pq-formeln. Kvadratkomplettering används bl.a för att lösa andragradsekvationer, finna radie och mittpunkt hos cirklar (vid omskrivning av dess ekvation). För att förstå kvadratkomplettering och lätt kunna kvadratkomplettera behöver du kunna kvadreringsregeln utantill och ha den väl inövad. Den säger att

\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \ .\)

Det vi kan göra för att skriva om

\( x^2+px+q\)

i kvadratisk form är att observera att \( x^2+px\) kan tänkas som \( a^2+2ab\)-delen där \( a = x\) och \( 2b = p \ \Leftrightarrow \ b = \frac{p}{2}\). Då måste vi enligt kvadreringsregeln ha en \( b^2\)-term. Vi kan inte ta för givet att \( q\) är lika med \( b^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2\), så vi måste addera \( \left(\frac{p}{2}\right)^2\). Men om vi adderar något så ändrar vi uttryckets värde. Så samtidigt måste vi subtrahera med \( \left(\frac{p}{2}\right)^2\). Vi ändrar ingenting eftersom \( \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 = 0\). Vi lägger till en "komplicerad nolla" kan man säga. Så nu har vi ett uttryck vi kan skriva på kvadratisk form.

\( x^2+px+q = \underline{x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2} - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q \ .\)

Delen som är understruken kan vi nu skriva ihop som \( \left(x+\frac{p}{2}\right)^2\). Prövar vi att utveckla kvadraten med kvadreringsregeln så får vi mycket riktigt, och väntat

\( \left(x+\frac{p}{2}\right)^2 = x^2 + \frac{p}{2} \cdot 2x + \left(\frac{p}{2}\right)^2 = x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2 \ .\)

Det vi har åstadkommit är att skriva ihop uttrycket i kvadratisk form utan att ändra uttryckets värde.

\( x^2+px+q = \underline{x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2} - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q = \underline{\left(x+\frac{p}{2}\right)^2} - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q \ .\)

 

Exempel 1

Kvadratkomplettera.

a) \( x^2+6x+4\)

b) \( x^2 + 12x - 36\)

c) \( x^2 - 9x - 18\)

 

Lösningar

a) Den komplicerade nolla vi måste lägga till för att kunna kvadratkomplettera är \( \left(\frac62\right)^2 = 3^2 = 9\). Så vi skriver

\( x^2+6x+4 = x^2+6x+9-9+4 = \left(x+\left(\frac62\right)\right)^2-5 = (x+3)^2-5 \ .\)

b) Här är den komplicerade nollan lika med \( \left(\frac{12}{2}\right)^2 = 6^2 = 36\). Här kan det bli lite förvirrande dock, eftersom man tänker att 36 redan finns. Men observera att det är −36. Vi lägger till den komplicerade nollan och får då

\( x^2+12x-36 = x^2+12x+36-36-36 = \left((x+\left(\frac{12}{2}\right)\right)^2-72 = (x+6)^2 - 72 \ .\)

Exempel c) lämnas som övning till läsaren. Uppgift, svar och lösning finner man nedan.

 

c)SvarLösning
Kvadratkomplettera \( (x^2+2)(x^2-2)\)
\( x^2 - 9x - 18 = \left(x-\frac{9}{2}\right)^2 - \frac{153}{4} = (x-4.5)^2 - 38.25\)
Den komplicerade nollan är \( \left(\frac{9}{2}\right)^2 = \frac{81}{4}\)

\( x^2 - 9x - 18 = x^2-9x+\left(\frac{9}{2}\right)^2-\left(\frac{9}{2}\right)^2-18 = \left(x-\frac{9}{2}\right)^2- \frac{81}{4} - \underbrace{\frac{72}{4}}_{= 18} = \\ = \left(x-\frac{9}{2}\right)^2 - \frac{153}{4} = (x-4.5)^2 - 38.25\)

 

Exempel 2

Lös andragradsekvationerna med hjälp av kvadratkomplettering

a) \( x^2+ 4x + 2 = 0\)

b) \( x^2 + 10x + 6 = 0\)

Lösningar

a) Vi vill börja med att kvadratkomplettera vänsterled. Den komplicerde nollan blir \( \left(\frac 42\right)^2 = 2^2 = 4\), så

\( x^2+4x+2 = x^2+4x+4-4+2 = \left(x+\frac 4 2\right)^2 - 2 = (x+2)^2 - 2 = 0 \ .\)

Nu är det relativt lätt att lösa ut x.

\( (x+2)^2 - 2 = 0 \ \Leftrightarrow \ (x+2)^2 = 2 \ \Leftrightarrow \ x+2 = \pm\sqrt{2} \ \Leftrightarrow \ x = -2 \pm \sqrt{2}\)

 

Svar: Lösningarna till andragradsekvationen är \( x_1 = -2 + \sqrt{2}, \quad x_2 = -2 - \sqrt{2}\)

Exempel 2, b) lämnas som övning till läsaren. Uppgift, svar och lösning hittas gömda nedan.

 

bSvarLösning
Lös ekvationen \( x^2 + 10x + 6 = 0\) med hjälp av kvadratkomplettering.
\( x_1 = -5 + \sqrt{19}, \quad x_2 = -5 - \sqrt{19}\)
Kvadratkomplettering av vänsterled med den komplicerade nollan \( \left(\frac{10}{2}\right)^2 = 5^2 = 25\) ger

\( x^2+10x+6 = x^2+10x+25-25+6 = \left(x+\frac{10}{2}\right)^2-19 = (x+5)^2 - 19 = 0,\)

som ger lösningarna

\( (x+5)^2 = 19 \ \Leftrightarrow \ x+5 = \pm \sqrt{19} \ \Leftrightarrow \ x = -5 \pm \sqrt{19} \ .\)

 

Övning

UppgiftTipsSvarLösning
Finn medelpunkten och radien för cirkeln \( x^2 + 10x + y^2+4y + 20 = 0\) där cirkeln \( (x-m)^2 + (y-n)^2 = r^2\) har medelpunkten i \( (m,n)\) och radien \( r\).
Kvadratkomplettera först termerna som innehåller \( x\). Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller \( y\), så att du får ett uttryck som liknar \( (x-m)^2 + (y-n)^2 = r^2\).
Medelpunkt i \( (-5,-2)\) och radie \( 3\).
Om vi först kvadratkompletterar de termer som innehåller x så blir den komplicerade nollan \( \left(\frac{10}{2}\right)^2 = 5^2 = 25\)

\( x^2+10x+25-25 = (x+5)^2-25 \ .\)

Nu kvadratkompletterar vi y-termerna. Den komplicerade nollan blir \( \left(\frac 4 2\right)^2 = 2^2 = 4\), så

\( y^2+4y+4-4 = (y+2)^2-4 \ .\)

Sätter vi ihop detta i cirkelns ekvation får vi

\( x^2 + 10x + y^2+4y + 20 = (x+5)^2-25+(y+2)^2-4+20 = (x+5)^2+(y+2)^2-9 = 0 \ \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \ (x+5)^2+(y+2)^2 = 9 = 3^2\)

Vilket betyder att medelpunkten ligger i \( (-5,-2)\) och radien för cirkeln är \( 3\).


Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 7 januari 2010. Senast uppdaterad 7 maj 2016.

Kommentarer är stängda