Kuberingsreglerna

Kuberingsreglerna förklarar hur man utvecklar följande uttryck

\( (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \\ (a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)

Detta är ännu ett par regler man bör kunna utantill, men de är inte lika viktiga som kvadreringsreglerna.

 

Första kuberingsregeln

\( (a+b)^3\) kan vi också skriva som \( (a+b)\cdot (a+b)^2\), och sedan kan vi använda oss av kvadreringsregeln och helt enkelt multiplicera samman allt.

\( (a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2 = (a+b)(a^2+2ab+b^2) = a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3 = \\ = a^3+3a^2b+3ab^2+3b^3,\)

och då gäller alltså

\( (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

Geometriskt kan vi tolka \( (a+b)^3\)som en kub som ser ut på följande sätt:

Kub

 

När vi utvecklar med hjälp av kuberingsregeln får vi tre rätblock med volymen a^2b och ab^2, samt en kuberna b^3 och a^3.

 

 

\( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

 

Uppdelad kub

 

 

Andra kuberingsregeln

Vi gör likadant med den andra regeln. \( (a-b)^3\) kan vi skriva som \( (a-b)\cdot (a-b)^2\) , sedan använder vi oss av kvadreringsregeln och multiplicerar.

\( (a-b)^3 = (a-b)(a-b)^2 = (a-b)(a^2-2ab+b^2) = a^3-2a^2b+ab^2-a^2b+2ab^2-b^3 = \\ = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3,\)

och alltså gäller det att

\( (a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)

Den geometriska tolkningen lämnar vi åt läsaren. Ta gärna en titt på \( (a-b)^2\) i vår artikel som behandlar kvadreringsreglerna om du behöver lite hjälp med visualiseringen, men tänk då på att vi pratar om en kub här, alltså volymer.

 

Övningar och lösningar

Utveckla

a) \( (3-x)^3\)
b) \( (u+6)^3\)
c) \( (2x+4y)^3\)

Vi går igenom stegen i det första exemplet

a)

\( (3-x)^3 = 3^3 - 3\cdot 3^2\cdot x + 3\cdot 3\cdot x^2 - x^3 = 27 - 27x + 9x^2 - x^3\)

De resterande två uppgifterna lämnas som övning, med gömda lösningar nedan

Utveckla

b)Svar
\( (u+6)^3\)
\( (u+6)^3 = u^3 + 18u^2 + 108u + 216\)
c)Svar
\( (2x+4y)^3\)
\( (2x+4y)^3 = 8x^3 + 48x^2y + 96xy^2 + 64y^3\)

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 6 april 2009. Senast uppdaterad 6 januari 2016.

Comments are closed