Konjugatregeln

Konjugatregeln är en regel som säger att:

\( a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\)

Även detta är en regel som man bör kunna utantill eftersom den dyker upp senare ofta i matematiken. Den används bland annat då man förenklar divisioner som innehåller polynom och utnyttjas även i vissa fall med komplexa tal.

 

Bevis

Vi tar en närmare titt på regeln:

\( (a-b)(a+b) = a^2 + a \cdot b - a \cdot b - b^2 = a^2-b^2\)

Geometriskt kan vi tolka regeln som:

Konjugatregeln

\( (a-b)(a+b) = (a+b)(a-b) = a^2-b^2\)

Arean som regeln uttrycker är den blå och lila rektangeln.

 

\( a^2\) utgör samtliga ytor i figur 1. Om vi subtraherar \( a^2\) med den vinröda kvadraten, \( b^2\), dvs. \( a^2-b^2\), så har vi kvar den blå och lila rektangeln. Om vi sedan positionerar den lila rektangeln enligt figur 2 blir det hela tydligt.

 

Övningar och lösningar

Utveckla

a)Svar
\( (r-3)(r+3)\)
\( (r-3)(r+3) = r^2 - 3^2 = r^2 - 9\)
b)Svar
\((5-t)(5+t)\)
\( (5-t)(5+t) = 5^2 - t^2 = 25 - t^2\)
c)Svar
\((x^2+2)(x^2-2)\)
\( (x^2+2)(x^2-2) = (x^2)^2 - 2^2 = x^4 - 4\)

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 6 april 2009. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Kommentarer är stängda