Avståndsformeln

Med hjälp av avståndsformeln kan man beräkna avståndet mellan två punkter i ett kartesiskt koordinatsystem.

Avståndet \( d\) mellan två punkter, \( (x_1,y_1)\) och \( (x_2,y_2)\), kan beräknas med:

\( d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) 

Det finns också en variant som ger avståndet mellan två punkter i ett tre dimensionellt koordinatsystem. Om punkterma är \( (x_1,y_1,z_1)\) och \( (x_2,y_2,z_2)\) så är avståndet:

\( d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\)  

 

Exempel

Ange avståndet mellan punkterna i koordinatsystemet nedan.

Koordinatsystem

Lösning

Vi bestämmer koordinaterna och använder oss sedan av avståndsformeln.

\( d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

Punkterna har koordinaterna \( (-2,1)\) samt \( (1,3)\), vi får då

\( d=\sqrt{(-2 - 1)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{13}\)

Svar: Avståndet mellan punkterna är \( \sqrt{13} \ \mathrm l.e.\)

 

En närmare titt

Formeln för avståndet i tvådimensionella och tredimensionella (och n-dimensionella) koordinatsystem följer av Pythagoras sats. Vi tar och tittar på hur man härleder avståndsformeln.

 

2-D

\( d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

Två punkter

Man kan forma en rätvinklig triangel genom att använda punkterna som hörn. 

Två punkter

Då är \( d^2=a^2+b^2\) enligt Pythagoras sats.

Kateterna har längderna

\( a = |y_2-y_1| \\ b = |x_2-x_1|\)

Men eftersom de båda är upphöjda till 2 behöver vi inte skriva ut absolutbeloppet för varje avstånd då det resulterar i positiva tal, det räcker med vanliga parenteser.

\( d^2 = (y_2-y_1)^2 + (x_2+x_1)^2 \ \Leftrightarrow \ d = \sqrt{(y_2-y_1)^2 + (x_2+x_1)^2},\)

vilket är avståndsformeln.

 

Om ni är obekanta med absolutbeloppstecken (\( |x|\)) så betyder dessa att vi tar avståndet mellan koordinaterna.
Vi går inte djupare in på ämnet här utan absolutbelopp kommer att behandlas i en separat artikel.

 

3-D

\( d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\)   

 

 

Punkter i 3D

Avståndet mellan punkterna \( (x_1,y_1,z_1)\) och \( (x_2,y_2,z_2)\) är \( d\). Vi kan bilda två rätvinkliga trianglar, en med sidorna \( f\), \( c\) och \( d\), och en annan med sidorna \( a\), \( b\) och \( c\). Se bild ovan. Då kan vi beräkna \( d\) genom att använda oss av Pythagoras sats.

 

Sidorna blir

\( a = |z_2-z_1| \\ b = |x_2-x_1| \\ f = |y_2-y_1|\)

och med pythgoras har vi

\( c^2 = a^2+b^2 \\ d^2 = f^2 + c^2 = f^2 + a^2+b^2 \ .\)

Kombinerar vi detta får vi

\( d^2 = (z_2-z_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (x_2-x_1)^2 \ \Leftrightarrow \ d = \sqrt{(z_2-z_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (x_2-x_1)^2},\)

vilket är avståndsformeln i tre dimensioner.

 

N-D

Vi kan utvidga avståndsformeln till \( n\) dimensioner som avståndet mellan de två kordinaterna \( (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n)\) och \( (\beta_1,\beta_2,\beta_3,...,\beta_n)\) som följande

\(d = \sqrt{(\beta_n-\alpha_n)^2+(\beta_{n-1}-\alpha_{n-1})^2+...+(\beta_2-\alpha_2)^2+(\beta_1-\alpha_1)^2} = \\ = \sqrt{\sum_{i=1}^n(\beta_i-\alpha_i)^2} \ .\)

Här kan man läsa om hur summasymbolen (\( \sum\)) fungerar.

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 6 april 2009. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Comments are closed