Bevis av pq-formeln och nollproduktsmetoden

pq-formeln

Sats: Lösningarna till ekvationen \( x^2+px+q = 0\) är

\( x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \ .\)

Bevis: Allt som behövs är att använda kvadratkomplettering för att lösa ekvationen \( x^2+px+q = 0 \ .\)

\( x^2+px+q = x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2+q = \left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2+q = 0 \ .\)

Det vi gör nu är att lösa ut \( x\).

\( \left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2+q = 0 \ \Leftrightarrow \ \left(x+\frac{p}{2}\right)^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2-q \ \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x+\frac{p}{2} = \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \ \Leftrightarrow \ x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \ .\)

V.S.B. (vilket skulle bevisas)

Nollproduktsmetoden

Sats: \( a \cdot b = 0\) gäller om och endast om \( a = 0\) eller \( b = 0\)

Bevis: Om vi antar att \( a \cdot b = 0\) och \( a \neq 0\) så är det tillåtet att dela med \( a\). Vi kan skriva

\( a = a+0 = a+\underbrace{a\cdot b}_{= 0} = a(1+b) \ .\)

Med andra ord har vi ekvationen

\( a = a(1+b) \ .\)

Vi kan nu dela båda led med \( a\) eftersom vi antog att \( a \neq 0\). Vi får då att

\( a = a(1+b) \ \Leftrightarrow \ 1 = 1+b \ \Leftrightarrow \ b = 0 \ .\)

Satsen gäller naturligtvis för \( a = 0\) och vi har nu visat att om \( a \neq 0\) så måste \( b = 0\).

V.S.B.

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 3 januari 2011. Senast uppdaterad 8 maj 2016.

Comments are closed