Att lösa andragradsekvationer

Förord

Det finns vissa saker man bör känna till. Till exempel att det inte går att dra roten ur ett negativt tal, eftersom det inte finns något tal som multiplicerat med sig självt blir negativt. Så fort vi tvingas dra roten ur ett negativt tal så har andragradsekvationen inga reella lösningar. En annan grej är att när man drar roten ur, så får man både en positiv och en negativ rot. Det som menas är att ekvationen \( x^2 = 1\) både satisfieras av \( x = 1\) och \( x = -1\) eftersom \( 1^2 = 1\) och \((-1)^2 = (-1) \cdot (-1) = 1\). Detta skriver vi som

\( x^2 = 1 \ \Leftrightarrow \ x = \pm \sqrt{1} = \pm 1 \ .\)

 

Enklaste fallet

Det enklaste fallet av en andragradsekvation är när den är på formen

\( ax^2-c = 0 \ .\)

I detta fallet så behöver man bara möblera om lite för att få \( x^2\) ensamt och sedan dra roten ur båda led. Men man får inte glömma \( \pm\).

\( ax^2-c = 0 \ \Leftrightarrow \ ax^2 = c \ \Leftrightarrow \ x^2 = \frac{c}{a} \ \Leftrightarrow \ x = \pm \sqrt{\frac{c}{a}}\)

 

Exempel 1

Lös andragradsekvationerna

  1. \( x^2-4 = 0\)
  2. \( x^2 + 3 = 0\)
  3. \( 4x^2 - 2 = 0\)

 

Lösningar

1. Vi  börjar med att få \( x^2\) ensamt för att sedan dra roten ur. Får inte glömma \( \pm \)

\( x^2-4 = 0 \ \Leftrightarrow \ x^2 = 4 \ \Leftrightarrow \ x = \pm \sqrt{4} = \pm 2\)

Svar: Lösningarna till andragradsekvationen är \( x_1 = 2, \quad x_2 = -2\)

 

b. Vi använder samma metod som föregående uppgift.

\( x^2 + 3 = 0 \ \Leftrightarrow \ x^2 = -3 \ \Leftrightarrow \ x \pm \sqrt{-3}\)

Men detta går inte, för att vi försöker dra roten ur ett negativt tal. Ekvationen har då inga reella rötter.

Svar: Ekvationen har inga reella lösningar.

 

c. Vi använder samma metod som föregående uppgift.

\( 4x^2 - 2 = 0 \ \Leftrightarrow \ 4x^2 = 2 \ \Leftrightarrow \ x^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \ \Leftrightarrow \ x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\)

Svar: Andragradsekvationen har lösningarna \( x_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad x_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}\)

 

pq-formeln

När vi har andragradsekvationer på formen

\( x^2+px+q = 0\)

så finns det en formel som kallas pq-formeln, som man kan använda för att beräkna rötterna till vilken andragradsekvation som helst. pq-formeln säger att rötterna till ekvationen \( x^2+px+q = 0\) är

\(\boxed {x_{1,2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}} \ .\)

 

Exempel 2

Lös andragradsekvationerna med pq-formeln

  1. \( x^2+2x-3 = 0\)
  2. \( 2x^2+4x+8 = 0\)

 

Lösningar

1. Om vi bara tillämpar pq-formeln får vi

\( x_{1,2} = -\frac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2 + 3} = -1 \pm \sqrt{1+3} = -1 \pm \sqrt{4} = -1 \pm 2\)

Svar: Lösningarna till andragradaren är \( x_1 = 1, \quad x_2 = -3\)

 

2. Före vi kan tillämpa pq-formeln måste \( x^2\)-termen stå ensam. Så vi måste först dela ekvationen med 2

\( 2x^2+4x+8 = 0 \ \Leftrightarrow \ x^2+2x+4 = 0\)

Nu kan vi applicera pq-formeln, så vi får

\( x_{1,2} = -\frac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2-4} = -1 \pm \sqrt{1-4} = -1 \pm \sqrt{-3}\)

Eftersom vi har negativt under roten, så har andragradsekvationen inga reella lösningar.

Svar: Ekvationen har inga reella rötter.

 

Nollproduktsmetoden

När man t.ex. ser denna ekvation:

\( x^2-2x = 0,\)

kan man använda pq-formeln. Men det finns en bättre och mycket snabbare metod. Detta gäller endast när man uteslutande har termer som innehåller \( x\). Denna metod kallas nollproduktsmetoden. Den säger att om man har två (eller fler) faktorer \( a,\ b\) sådana att

\( a \cdot b = 0\)

så måste antingen \( a\) eller \( b\) vara lika med 0.

Vad detta egentligen betyder är att vi kan faktorisera uttrycket \( x^2-2x\) som \( x(x-2)\) så har vi ekvationen

\( x(x-2) = 0\)

enligt nollproduktsmetoden så måste en utav faktorera vara lika med 0. Antingen är \( x = 0\) eller så är \( x - 2 = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 2\), och då har vi våra två lösningar till andragradsekvationen bara sådär.

Exempel 3

Lös andragradsekvationerna med nollproduktsmetoden

  1. \( x^2+7x = 0\)
  2. \( 3x^2-2x = 0\)

Lösningar

1. Vi bryter ut \( x\) för att få

\( x^2+7x = x(x+7) = 0,\)

som betyder att antingen är \( x = 0\) eller \( x + 7 = 0 \ \Leftrightarrow \ x = -7\)

Svar: Lösningarna till ekvationen är \( x_1 = 0, \quad x_2 = -7\)

 

2. Samma princip som förra uppgiften. Bryter ut \( x\) för att få

\( 3x^2-2x = x(3x-2) = 0,\)

som ger \( x = 0\) eller \( 3x - 2 = 0 \ \Leftrightarrow \ x = \frac{2}{3}\)

Svar: Andragradsekvationen har rötterna \( x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{2}{3}\)

 

Övningar

Lös andragradsekvationerna

Övningsuppgift 1SvarLösning
\( x^2 - 7 = 0\)
\( x_1 = \sqrt{7}, \quad x_2 = -\sqrt{7}\)
Ingen formel behöver användas då vi endast kan lösa ut \( x\).

\( x^2-7 = 0 \ \Leftrightarrow \ x^2 = 7 \ \Leftrightarrow \ x = \pm \sqrt{7}\)

Övningsuppgift 2SvarLösning
\( x^2+2x+5 = 0\)
Inga reella lösningar.
Här måste vi använda pq-formeln.

\( x_{1,2} = -\frac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2 - 5} = -1 \pm \sqrt{1-5} = -1 \pm \sqrt{-4}\)

Negativt under roten blir inte bra. Därför har andragradaren inga rella lösningar.

Övningsuppgift 3SvarLösning
\( 4x^2+4x-8 = 0\)
\( x_1 = 1, \quad x_2 = -2\)
pq-formeln igen. Fast vi måste dela ekvationen med 4 först, så att \( x^2\)-termen blir ensam och positiv.

\( 4x^2+4x-8 = 0 \ \Leftrightarrow \ x^2+4x-2 = 0,\)

som med pq-formeln ger lösningarna

\( x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}+2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{8}{4}} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}} = -\frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}\)

Övningsuppgift 4SvarLösning
\( 2x^2+3x = 0\)
\( x_1 = 0, \quad x_2 = -\frac{3}{2}\)
Här använder vi nollproduktsmetoden för att bryta ut \( x\).

\( 2x^2+3x = x(2x+3) = 0\)

som ger \( x = 0\) eller \( 2x+3 = 0 \ \Leftrightarrow \ x = -\frac{3}{2}\)

Övningsuppgift 5SvarLösning
\( x^2 + 1 = 0\)
Inga reella.
\( x^2+1 = 0 \ \Leftrightarrow \ x^2 = -1 \ \Leftrightarrow \ x = \pm \sqrt{-1}\)

Roten ur ett negativt tal går ej.

Övningsuppgift 6SvarLösning
\( 8x^2-16x = 0\)
\( x_1 = 0, \quad x_2 = 2\)
Här kan vi använda nollproduktsmetoden genom att bryta ut \( 8x\)

\(8x^2-16x = 8x(x-2) = 0\)

Som ger

\( 8x = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 0\) eller \( x-2 = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 2 \ .\)

 

abc-formeln

Det finns en formel som är ett alternativ till pq-formeln, där man inte måste ha \( x^2\)-termen ensam innan man använder den. Med andra ord så kan man lösa andragradsekvationer på formen

\( ax^2+bx+c = 0\)

med hjälp av abc-formeln, som ser ut som följande.

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \ .\)

Beviset av denna lämnas som en övning. Det gäller bara att kvadratkomplettera uttrycket \( ax^2+bx+c\), så är man nästan klar med beviset.


Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 3 januari 2011. Senast uppdaterad 8 maj 2016.

Kommentarer är stängda