Andragradsekvationer

Denna artikeln kommer introducera läsaren till andragradsekvationer. Andragradsekvationer är ekvationer på formen

\( ax^2+bx+c = 0, \quad a \neq 0\)

Dvs \( a\) får inte vara lika med 0. För då blir \( 0 \cdot x^2 = 0\) och vi får ekvationen \( bx+c = 0\) vilket är en förstagradsekvation och inte en andragradsekvation. Graden av ekvationen bestäms av den termen som har högst exponent. T.ex. \( x^3-8 = 0\) är en tredjegradsekvation \( x^4+x = 0\) är en fjärdegradsekvation.

 

Antalet lösningar

En förstagradsekvation har alltid en lösning eller synonymt, rot. Om den skrivs som \( kx +m = 0\) är den enda lösningen \( x = - \frac{m}{k}\). En andragradsekvation har alltid två lösningar. Men det är inte alltid lösningarna är reella. En reell lösning eller ett reellt tal är ett tal som finns på tallinjen helt enkelt. Sedan finns det något som heter komplexa tal. Fast det tas inte upp förän i Matematik E. I början när andragradsekvationer tas upp (Matematik B) så är det endast reella lösningar man är intresserad av.

 

Grafiskt

Ett förstagradspolynom är en linje i ett kordinatsystem och lösningen till motsvarande förstagradsekvation är stället där linjen skär x-axeln. Ett andragradspolynom är en parabel och kan skära x-axeln två eller noll gånger. Den kan också tangera x-axeln. Det kallar vi för att andragradsekvationen har en dubbelrot. Den har två lösningar som är lika med varandra.

 

 

Fig 1. En linje (förstagradsekvation) med lösningen \( x = 4\)linje1

 

 

 

 

 

 

parabel1

Fig 2. En parabel (andragradspolynom) med två lösningar. \( x_1 = -3, \quad x_2 = 1\)

parabel2 

Fig 3. En parabel (andragradspolynom) utan reella lösningar. Den skär inte x-axeln någon gång.

parabel3Fig 4. En parabel (andragradspolynom) som exakt tangerar x-axeln och därmed har en s.k. dubbelrot i \( x = -2\)

 

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 3 januari 2011. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Comments are closed