Sinus och cosinus, Introduktion

Funktionerna sinus och cosinus är definierade på följande vis:

 

sincostriangle

\( \sin(v) = \frac{\mathrm{motst\unicode{0x00E5} ende\,katet}}{\mathrm{hypotenusan}}= \frac{b}{c} \\ \cos(v) = \frac{\mathrm{n\ddot{a}rliggande\, katet}}{\mathrm{hypotenusan}} = \frac{a}{c} \)

Notera: Detta gäller endast för rätvinkliga trianglar.

 

Dessa bör man kunna utantill! Med hjälp av funktionerna kan man bl.a finna okända sidor i rätvinkliga trianglar så länge vi i triangeln vet en vinkel, bortsett från den räta, och har minst en känd sida. Det går att jobba med trianglar som inte är rätvinkliga heller, men det kommer i en senare artikel.

 

Exempel och övningar

(Om ni skriver in exemplen själva på miniräknaren så se till att den är inställd på grader! För om den är inställd på annat sätt att ange vinklar (till exempel rad, radianer) så kommer ni inte att få rätt svar på exemplen!)

Beräkna \( x\).

 

a) triangel56               b) sincos3

c)sincos4 d) triangel18

 

Lösningar

a) Definitionen av sinus lyder

\( \sin v = \frac{\mathrm{motst}\unicode{0x00E5}\mathrm{ende\, katet}}{\mathrm{hypotenusan}}\)

Figuren avslöjar att \( \mathrm{vinkel} = 56^\circ\), \( \mathrm{motst}\unicode{0x00E5}\mathrm{ende\, katet} = x\) och \( \mathrm{hypotenusan} = 12.8\). Med det uträttat så får vi ekvationen

\( \sin(56^\circ) = \frac{x}{12.8} \ \Leftrightarrow \ x = 12.8 \cdot \sin(56^\circ) = 10.61 \ .\)

Svar: Längden av den motstående kateten är \( 10.61 \ \mathrm l.e.\)

 

b) Definitionen av cosinus lyder

\( \cos(v) = \frac{\mathrm{n}\ddot{a}\mathrm{rliggande\, katet}}{\mathrm{hypotenusan}}\)

I figuren har vi \( \mathrm{n}\ddot{a}\mathrm{rliggande\, katet} = 6.2\), \( \mathrm{hypotenusan} = 9.3\) och \( \mathrm{vinkel} = x\). Detta ger ekvationen

\( \cos(v) = \frac{6.2}{9.3} \ \Leftrightarrow \ v = \arccos\left(\frac{6.2}{9.3}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{6.2}{9.3}\right) = 48^\circ\)

\( \arccos\) och \( \cos^{-1}\) är samma sak fast olika notationer. Det betyder inversen av cosinus eller arcuscosinus. På miniräknarna finns det ofta en knapp där det står \( acos\).

Svar: Vinkeln är \( 48^\circ\).

 

c) och d) lämnas som övning till läsarna. Svar samt lösningar finns gömda här nedan.

 

c)SvarLösning
Se ovan
\( x = 35^\circ\)
Enligt triangeln kan vi ställa upp följande ekvation

\( \sin(x) = \frac{5.0}{8.7} \ \Leftrightarrow \ x = \arcsin\left(\frac{5.0}{8.7}\right) = 35^\circ\)

d)SvarLösning
Se ovan
\( x = 3.16 \ \mathrm l.e.\)
Enligt triangeln kan vi ställa upp följande ekvation

\( \cos(18.5^\circ) = \frac{3.0}{x} \ \Leftrightarrow \ x \cdot \cos(18.5^\circ) = 3.0 \ \Leftrightarrow \ x = \frac{3.0}{\cos(18.5^\circ)} = 3.16\)


Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 7 januari 2010. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Kommentarer är stängda