Pythagoras sats

Pythagoras sats förklarar sambandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel.

TriangelTriangelareor

\( c^2=a^2+b^2\)

Satsen säger att kvadraten av hypotenusan är lika med summan av de båda kateternas kvadrater. Du kan alltså finna den okända sidan i en rätvinklig triangel om du har två kända sidor givna med hjälp av denna sats. Den är ytterst användbar eftersom trianglar dyker upp överallt och kan användas vid analys av en lång rad olika problem. Den ligger även som grund till avståndsformeln som ger avståndet mellan punkter.

 

Exempel

1. I en rätvinklig triangel är kateterna kända och har längderna 3 samt 4, se bild. Ange hypotenusans längd.

Triangel

Lösning:

Eftersom kateterna är kända får vi direkt

\( c^2 = 4^2+3^2 = 16+9 = 25 \ \Leftrightarrow \ c = \sqrt{25} = 5\)

Svar: Hypotenusans längd är \( 5 \ \mathrm{l.e}\) (eftersom ingen enhet var angiven skriver vi l.e som betyder längdenhet.)

 

2. I en rätvinklig triangel har hypotenusan längden \( 12 \ \mathrm{cm}\) och en katet längden \( 5 \ \mathrm{cm}\). Ange den okända katetens längd.

Triangel

Lösning:

Hypotenusan och en katet är känd, vi får då

\( 12^2 = a^2+5^2 \ \Leftrightarrow \ a^2 = 12^2-5^2 = 144-25 = 119 \ \Leftrightarrow \ a = \sqrt{119}\)

En sidnotering här är att ekvationen \(\small{a^2 = 119}\) har två lösningar. \(\small{a = \sqrt{119}, \ a = -\sqrt{119}} \) eftersom \(\small{(-\sqrt{119})^2 = (-\sqrt{119})(-\sqrt{119}) = 119}\), men den negativa lösningen kan utan vidare förkastas eftersom en längd inte kan vara negativ.

Svar: Katetens längd är \( \sqrt{119} \ \mathrm cm\)

 

3. En triangel har sidorna \( 3\), \( 4\) och \( 5 \). Är triangeln rätvinklig?

Lösning:

Pythagoras sats kan även användas till att kolla om en triangel är rätvinklig eller inte, eftersom pythagoras sats endast gäller för just rätvinkliga trianglar. Den länsta sidan i en rätvinklig triangel är hypotenusan. Så om triangeln är rätvinklig så måste det gälla att

\( 3^2+4^2 = 5^2 \ .\)

Faktum är att det gäller eftersom

\( 3^2+4^2 = 9+16 = 25 = 5^2\)

Svar: Ja, triangeln är rätvinklig.

 

 

Bevis

Vi går igenom ett av de enklare bevisen för Pythagoras sats.

Vi ritar upp en kvadrat, därefter en mindre i denna och roterar den så att den nuddar vid den störres sidor, se bild.

Rektangel delad i trianglar

Sidorna hos den större kvadraten är \( a+b\), alltså är arean:

\( A = (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \ .\)

Vi kan även skriva arean som summan av alla mindre trianglar och kvadraten i mitten

\( A = \frac{4ab}{2}+ c^2 = 2ab+c^2 \ .\)

Vi får då

\( a^2+2ab+b^2 = 2ab+c^2 \ \Leftrightarrow \ a^2+b^2 = c^2\)

V.S.B. (Vilket skulle bevisas)


Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 6 april 2009. Senast uppdaterad 22 januari 2015.

Kommentarer är stängda