Exponentialfunktioner och logaritmer

Vi vet, från den enkla deriveringsregeln att vi kan derivera alla polynom samt alla potensfunktioner. I denna artikel får man lära sig hur man deriverar exponentialfunktioner. Både med basen \( e\) och med en godtycklig bas \( a\). Man får lära sig hur man deriverar logaritmfunktionen. Både naturliga logaritmen och logaritmer med godtyckliga baser \( b\).

\(\boxed{ f(x) = e^{kx}, \quad f'(x) = k \cdot e^{kx} \\ f(x) = a^{kx}, \quad f'(x) = k \cdot a^{kx} \cdot \ln(a) \\ f(x) = \ln(x), \quad f'(x) = \frac{1}{x} \\ f(x) = \log_b(x), \quad f'(x) = \frac{1}{x\cdot \ln(b)}}\)

Notera att man inte kan använda den angivna formeln för derivering när man har uttryck på formen \( \ln(kx+m)\) eller \(\ln(ax^2+bx+c)\). Då måste man använda kedjeregeln.

Exempel

a.

\( f(x) = 5e^x\)

\( f'(x) = 5e^x\)

d.

\( f(x) = 8^x\)

\( f'(x) = 8^x \cdot \ln(8)\)

b. 

\( f(x) = 2e^{-x} – 6x^3 + 19\)

\( f'(x) = -2e^{-x} – 18x^2\)

e.

\( f(x) = 92^x + 50x\)

\( f'(x) = 92^x \cdot \ln(92) + 50\)

c.

\( f(t) = t^4 + 3t – \ln(t)\)

\( f'(t) = 4t^3 + 3 – \frac{1}{t}\)

f.

\( f(x) = \log_6(x) + 6x^2 + e^{2x}\)

\( f'(x) = \frac{1}{x\cdot \ln(6)} + 12x + 2e^{2x}\)

Övningar och lösningar

Derivera

a)Svar
\( y = e^{2x}\)
\( y’ = 2\cdot e^{2x}\)

b)Svar
\( y = 5^{6x} + 8e^{-x} + 2\ln(x)\)
\( y’ = 6 \cdot 5^{6x} \cdot \ln(5) + 8 \cdot (-1) \cdot e^{-x} + 2 \frac{1}{x} = 5^{6x} \cdot 6\ln(5) – 8 e^{-x} + \frac{2}{x}\)

c)Svar
\( y = \log_2(2) – 3e^{-3x}\)
\( y’ = \frac{1}{x\cdot \ln(2)} – 3 \cdot (-3) \cdot e^{-3x} = \frac{1}{x\ln(2)} + 9e^{-3x}\)

Artikeln skriven av Johan Asplund. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 17 januari 2010. Senast uppdaterad 14 november 2019.

Kommentarer inaktiverade.