Potenser och potenslagar

Att beskriva matematik med ord kan vara svårt. Tur är därför att vi människor har uppfunnit symboler – siffror, räknesätt, likhetstecken med mera – som gör att vi snabbt förklara matematiska idéer för varandra med papper och penna.  Ett exempel på detta är potenser, som kan användas för att uttrycka idéer som har med upprepad multiplikation/division att göra. 

Tolkning

Skulptur som föreställer Einsteins formel E=mc^2. Foto: Lienhard Schulz/Wikimedia Commons.En potens är ett uttryck på formen \(a^b\), där talet \(a\) kallas för bas och talet \(b\) kallas för exponent. Exakt vad en potens betyder beror på vad för slags tal basen och exponenten är. Du kan läsa mer om detta i en vanlig mattebok. Här försöker vi i stället illustrera de vanligaste fallen med hjälp av två tabeller.

I den första tabellen jämför vi potenser med multiplikation (som beskriver upprepad addition/subtraktion i stället för upprepad multiplikation/division):

Fall Tolkning Jämförelse med multiplikation
Positiv heltalsexponent Upprepad multiplikation:
\(\small a^{\color{blue}{4}}=a\cdot a\cdot a\cdot a\)
Upprepad addition:
\(\small a\cdot \color{blue}{4}=a+a+a+a\)
Negativ heltalsexponent Upprepad division:
\(\small a^{\color{blue}{-4}}=\dfrac{1}{a\cdot a\cdot a\cdot a}\)
Upprepad subtraktion:
\(\small a\cdot (\color{blue}{-4})=-a-a-a-a\)
Exponent 0 \(\small a^{\color{blue}{0}}=1\) (om \(\small a\neq 0\)) \(\small a\cdot \color{blue}{0} =0\)
Exponent 1/n, där n är ett positivt heltal \(\small a^{1/\color{blue}{4}}\) svarar på frågan ”vilket tal* multiplicerat med sig självt 4 gånger blir a?”. \(\small a\cdot (1/\color{blue}{4})=a/\color{blue}{4}\) svarar på frågan ”vilket tal adderat med sig självt 4 gånger blir a?”.
* Om det finns mer än ett sådant tal väljs det positiva talet. Om det inte finns något sådant tal alls är uttrycket odefinierat. (Notera även att potensen \(\small a^{1/2}\) är samma sak som \(\small\sqrt{a}\).)

Den här tabellen visar det mönster som uppstår när man går från positiva till negativa heltalsexponenter. Detta kan användas som argument för att låta \(a^0=1\) gälla för alla \(a\neq 0\).

Potens Tolkning
\(a^3\) \(\color{gray}{1}\cdot a\cdot a\cdot a\)
\(a^2\) \(\color{gray}{1}\cdot a\cdot a\)
\(a^1\) \(\color{gray}{1}\cdot a\)
\(a^0\) \(\color{gray}{1}\)
\(a^{-1}\) \(\dfrac{\color{gray}{1}}{a}\)
\(a^{-2}\) \(\dfrac{\color{gray}{1}}{a\cdot a}\)
\(a^{-3}\) \(\dfrac{\color{gray}{1}}{a\cdot a\cdot a}\)

I specialfallet \(a=0\) blir den här tabellen meningslös eftersom vi får division med 0 i de sista raderna. Man har därför kommit överens om att låta \(0^0\) vara odefinerat.

Potenslagar

När man räknar med potenser finns det ett antal räknelagar som kan göra beräkningarna snabbare och enklare. Om du behöver dem, går de enkelt att slå upp i en formelsamling. På formelbladen för de nationella proven i matematik ser det exempelvis ut så här:

Urklipp ur formelblad som visar åtta potenslagar.

Tips
Det bästa sättet att memorera och förstå potenslagarna är att aldrig lita blint på formelsamlingen. Varje gång du använder en potenslag bör du försöka övertyga dig om att den verkligen stämmer. Ställ kritiska frågor till dig själv: Är formeln rimlig? Stämmer den för ett par enkla exempel? Stämmer den med andra formler? Har du några argument för varför den skulle gälla generellt?
ExempelFörslag
Analysera potenslagen \(a^x\cdot a^y=a^{x+y}\).
Är \(a^x\cdot a^y=a^{x+y}\) rimligt? Låt oss prova oss fram lite.

Om \(x=5\) och \(y=3\) har vi exempelvis

\(a^5\cdot a^3=\overbrace{(a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a)}^{\text{5 st $a$}}\cdot \overbrace{(a\cdot a\cdot a)}^{\text{3 st $a$}}=\\=\overbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a \cdot a\cdot a\cdot a}^{\text{8 st $a$}}=a^8=a^{5+3}\,.\)

På liknande sätt kan vi resonera för vilka heltalsexponenter som helst (även negativa).

Vi kan också notera att den stämmer bra ihop med andra potenslagar, t.ex. \((a^x)^y=a^{xy}\). Enligt denna har vi att

\((a^5)^4=a^{5\cdot 4}=a^{20}\,,\)

vilket stämmer precis med potenslagen som vi undersöker, som säger att

\((a^5)^4=a^5\cdot a^5\cdot a^5\cdot a^5=a^{5+5+5+5}=a^{20}\,.\)

Motsvarande argument kan upprepas för vilka heltalsexponenter som helst.

Inget av detta är ett bevis på att \(a^x\cdot a^y=a^{x+y}\) verkligen gäller för alla aoch y. Men det är i alla fall en indikation på det verkar stämma.

Fler exempel på hur man kan övertyga sig om att potenslagarna är sanna finns i en vanlig mattebok.

Varning för falsk potenslag
Ett vanligt misstag är att tro att detta är en av potenslagarna:

\(\color{#c00}{(a+b)^x=a^x+b^x}\)

Men så är inte fallet! För de allra flesta värden på \(a\), \(b\) och \(x\) gäller likheten inte. Detta är enkelt att upptäcka genom att stoppa in ett par exempel på tal. Exempelvis är

\((1+1)^3=2^3=8\)

vilket inte alls är samma sak som

\(1^3+1^3=1+1=2\,.\)

Däremot finns de något mer komplicerade kvadreringsreglerna och kuberingsreglerna som säger att

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

och att

\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,.\)

Prioriteringsregler

För att det ska vara helt klart vad man menar med ett visst matematiskt uttryck har vi människor kommit överens om prioriteringsregler, som talar om i vilken ordning olika beräkningar ska utföras. Ordningen är följande:

  1. Parenteser
  2. Potenser
  3. Multiplikation och division
  4. Addition och subtraktion.

Har man flera potenser efter varandra har man bestämt att de ska läsas ”uppifrån och ner”. Uttrycket \(a^{b^c}\) tolkas alltså som \(a^{\left(b^c\right)}\). Om man i stället menar \(\left(a^b\right)^c\) måste man skriva ut parenteserna.

Digitala hjälpmedel

Har man en någorlunda vettig handstil är det enkelt att skriva potenser med papper och penna. Många moderna miniräknare och programvaror som GeoGebra har dessutom smarta lösningar som skapar små upphöjda textrutor om man vill skriva in en exponent.

På äldre miniräknare och Wolfram Alpha, och i programeringsspråk finns inga sådana finesser. I stället använder man symbolen ^ (i vissa fall **) för att markera att man vill göra en upphöjning. På miniräknare finns det en speciell knapp med denna symbol, och på ett svenskt tangentbord sitter ^ på samma knapp som specialtecknen ¨ och ~.

Prioritera rätt!
Prioriteringsregeln att potenser går före andra räknesätt ställer normalt sett inte till några problem, eftersom upphöjningen av texten hjälper till att förtydliga. Men när man skriver matematik på dator eller miniräknare kan förvirring uppstå. Vill man exempelvis ha hjälp av räknaren att beräkna \(3^{2\cdot 5}\) måste man skriva 3^(2*5). Skriver man i stället 3^2*5 kommer räknaren att missförså och tro att man menar \(3^2\cdot 5\).

Övningsuppgifter

Försök gärna lösa varje uppgift på flera sätt, både med och utan digitala hjälpmedel.

Uppgift 1Lösning

Beräkna

\(\dfrac{3^5\cdot 3^2-3^6}{3^5}\,.\)

Det här kan man göra på massor av sätt! Om man vill kan man till exempel räkna ut varje potens för sig och på så vis (och med mycket jobbigt räknande) få fram svaret

\(\frac{3^5\cdot 3^2-3^6}{3^5}=\frac{243\cdot 9-729}{243}=/\text{massa jobb}/=6\,.\)

Man kan så klart också låta en räknare göra allt jobb genom att skriva

(3^5*3^2 - 3^6)/3^5

och då också få fram svaret 6.

Men det smidigaste (och roligaste!) är nog att använda potenslagarna och dela upp bråket:

\(\dfrac{3^5\cdot 3^2-3^6}{3^5}=\dfrac{3^{7}-3^6}{3^5}=\dfrac{3^7}{3^5}-\dfrac{3^6}{3^5}=3^2-3=9-3=6\,.\)

Uppgift 2Lösning

Förenkla bråket

\(\dfrac{x^3y^2z^{-1}}{xz}\,.\)

En bra strategi är att unyttja reglerna för bråkmultiplikation för att dela upp bråket i en \(x\)-del, en \(y\)-del och en \(z\)-del:

\(\dfrac{x^3y^2z^{-1}}{xz}=\dfrac{x^3}{x}\cdot y^2\cdot \dfrac{z^{-1}}{z}\,.\)

Vi förenklar nu \(x\)- och \(z\)-delen var för sig:

\(\dfrac{x^3}{x}=\dfrac{x\cdot x\cdot \not x}{\not x}=x\cdot x = x^2\\\color{gray}{\text{alternativt:}\:\: = x^{3-1}=x^2\:\:\text{(potenslag)}}\)

\(\dfrac{z^{-1}}{z}=\dfrac{\:\:\frac{1}{z}\:\:}{z}=\dfrac{1}{z^2}\\\color{gray}{\text{alternativt:}\:\: = z^{-1-1}=z^{-2}=\dfrac{1}{z^2}\:\:\text{(potenslag)}}\,.\)

Stoppar vi in resultatet får vi att

\(\dfrac{x^3y^2z^{-1}}{xz}=x^2\cdot y^2\cdot \dfrac{1}{z^2}=\dfrac{x^2y^2}{z^2}=\\=\dfrac{(xy)^2}{z^2}=\left(\dfrac{xy}{z}\right)^2\,,\)

där vi i sista raden utnyttjade ytterligare en potenslag. Vi kollar för säkerhets skull så att Wolfram Alpha håller med.

Uppgift 3Lösning

(a) Förenkla \(x^3/x^{-2}\).

(b) Beräkna \(1000/0.01\).

(a) Vi utnyttjar att \(x^{-2}=1/x^2\) och använder reglerna för division av bråk:

\(\dfrac{x^3}{x^{-2}}=\dfrac{\:\:x^3\:\:}{\frac{1}{x^2}}=x^3\cdot x^2 =x^5\,.\)

Alternativt hade potenslagarna kunnat ge oss

\(\dfrac{x^3}{x^{-2}}=x^{3-(-2)}=x^{3+2}=x^5\,.\)

(b) Vi skriver om till tiopotenser och får

\(\dfrac{1000}{0.01}=\dfrac{10^3}{10^{-2}}\,.\)

Vi kan nu använda samma strategi som i (a) för att få fram svaret

\(10^5=100\,000\).

Uppgift 4Lösning

Bestäm samtliga (reella) lösningar till nedanstående ekvationer:

(a) \(x^4=-5\)
(a) \(x^{4}=81\)
(b) \(x^4=100\,.\)

Vi vill lösa ekvationerna

(a) \(x^4=-5\)
(a) \(x^{4}=81\)
(b) \(x^4=100\,.\)

Det är alltid en god idé att börja med att snabbt skissa grafen till vänster- och högerledet, så att vi förstår vad vi sysslar med. Vänsterledet ger en symmetrisk, parabellikande kurva som går igenom origo och sedan går mot oändligheten när \(x\) går mot plus/minus oändligheten. De tre vänsterleden ger vågräta linjer. Vi får något i stil med följande:

Skiss av VL och HL i koordinatsystem.

Varje \(x\)-värde där kurvan för högerledet och kurvan för vänsterledet skär varandra motsvarar en reell lösning.

Av detta sluter vi oss till att ekvation (a) saknar reell lösning (däremot har den fyra komplexa lösningar, men det tar vi inte upp här), och att ekvation (b) och (c) har två lösningar vardera; en positiv och en negativ.

Låt oss börja med att bestämma den positiva lösningen till (b). Vi frågar oss vilket tal som gånger sig självt fyra gånger blir 81. Att svara på den frågan är precis samma sak som att bestämma potensen \(81^{1/4}\). Detta kan du göra med WolframAlpha, men det också väldigt enkelt att bara prova sig fram:

\(1^4=1\cdot 1\cdot 1\cdot 1 =1\:\:\mathrm{(f\ddot{o}r\:lite)}\\2^4=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 16\:\:\mathrm{(f\ddot{o}r\:lite)}\\ 3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\:\:\mathrm{(perfekt!)}\)

dvs. \(x=81^{1/4}=3\) är den positiva lösningen till (b). Eftersom \(y=x^4\) är symmetrisk runt \(y\)-axeln (och eftersom minus gånger minus blir plus) kan vi enkelt dra slutsatsatsen att den negativa lösningen är \(x=-3\).

Sammanfattningsvis är lösningarna till (b) alltså \(x=\pm 81^{1/4}=\pm 3\).

Lösningen av ekvation (c) blir likartad. Den positiva lösningen är samma sak som potensen \(100^{1/4}\). Tyvärr motsvarar detta inte något heltal, men vi kan enkelt konstatera att värdet ligger någonstans mellan 3 och 4:

\(3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 81\:\:\mathrm{(f\ddot{o}r\:lite)}\\4^4=4\cdot 4\cdot 4\cdot 4=256\:\:\mathrm{(f\ddot{o}r\:mycket)}\)

Med Wolfram Alpha kommer vi enkelt fram till ett approximativt värde:

\(x=100^{1/4}\approx 3{,}16\,.\)

Den negativa lösningen blir

\(x=-100^{1/4}\approx -3{,}16\,,\)

och vi kan sammanfatta lösningarna till (c) som

\(x=\pm 100^{1/4}\approx \pm 3{,}16\,.\)

Uppgift 5Lösning

Förenkla

\(\dfrac{(-3)^2 \cdot t^{-6}}{t^{-4}}\,.\)

Vi vet att \((-3)^2=(-3)(-3)=3\cdot 3=9\).

Utöver det är det bara att köra på med potenslagen för en kvot:

\(\dfrac{(-3)^2 \cdot t^{-6}}{t^{-4}}=\dfrac{9\cdot t^{-6}}{t^{-4}}=9\cdot \dfrac{t^{-6}}{t^{-4}}=\\=9t^{-6-(-4)}=9t^{-6+4}=9t^{-2}=9\cdot \dfrac{1}{t^2}=\dfrac{9}{t^2}\,.\)

Vill man vara riktigt snitsig kan man avsluta med följande förenkling:

\(\dfrac{9}{t^2}=\dfrac{3^2}{t^2}=\left(\dfrac{3}{t}\right)^2\,.\)

Uppgift 6Lösningsförslag 1Lösningsförslag 2

Räkna ut

\(\dfrac{5\,000\,000}{2^8\cdot 5^7}\,.\)

Vi börjar med att faktorisera täljaren, förslagsvis så här:

\(5\,000\,000=5\cdot 1\,000\,000=5\cdot 10^6=5\cdot (2\cdot 5)^6=\\=5\cdot 2^6\cdot 5^6 =2^6\cdot 5^7\,.\)

Vi ser nu att de flesta faktorerna tar ut varandra i bråket:

\(\dfrac{5\,000\,000}{2^8\cdot 5^7}=\dfrac{\not 2^6\cdot \not5^7}{2^{\not 8}\cdot \not 5^7}=\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}\,.\)

Vi dubbelkollar så att räknaren (exempelvis Google) håller med oss, vilket den gör!

Vi börjar med att förkorta bråket med 5:

\(\dfrac{5\,000\,000}{2^8\cdot 5^7}=\dfrac{1\,000\,000}{2^8\cdot 5^6}\,.\)

Vi kan nu skriva om täljaren som en tiopotens, och sedan ”klumpa ihop” 2:orna och 5:orna i nämnaren till 10:or så långt det går:

\(\dfrac{1\,000\,000}{2^8\cdot 5^6}=\dfrac{10^6}{2^8\cdot 5^6}=\\=\dfrac{10^6}{2^2\cdot 2^6\cdot 5^6}=\dfrac{10^6}{2^2\cdot (2\cdot 5)^6}=\dfrac{\not 10^6}{2^2\cdot \not 10^6}=\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}\,.\)

Uppgift 7Lösning

Lös ekvationen

\(x^{1/7}=2\,.\)

Vi vill lösa ekvationen

\(x^{1/7}=2\,.\)

För att göra det kommer vi ihåg att \(x^{1/7}\) betecknar det tal som upphöjt till 7 blir blir \(x\). Enligt ekvationen är detta tal tydligen lika med 2. Alltså blir \(2^7\) lika med \(x\), dvs. \(x=2^7=128\) är en lösning.

Ett annat sätt att se detta, är genom att upphöja båda led till 7 för att ”bli av” med 1/7 i vänsterledet och få \(x\) ensamt. Då får vi

\(\begin{align*}\left(x^{1/7}\right)^7&=2^7\\ x^{7\cdot 1/7}&=2^7\\ x^{7/7}&=2^7\\ x^1&=2^7\,,\end{align*}\)

dvs. \(x=2^7=128\).

Finns det fler lösningar? Svaret är nej, och för att övertyga oss om det ritar vi en snabb skiss av högerledet och vänsterledet som funktioner av \(x\) i ett koordinatsystem:

Skiss av HL och VL i koordinatsystem.

Vänsterledet motsvarar en strängt växande funktion som går från minus oändligheten till plus oändligheten via origo, med störst lutning runt origo. Högerledets graf är en horisontell linje.

Det är tydligt att graferna skär varandra i precis en punkt, vilket betyder att det finns precis en lösning till ekvationen, nämligen den som vi redan har hittat.

Allt \(x=128\) är lösningen till ekvationen håller Wolfram Alpha helt med om (lägg märke till användningen av parenteser!).

Uppgift 8Lösning

Förenkla \((5^x+5^x)^2\).

Här har du två alternativ. Antingen utnyttjar du kvadreringsreglen som vi nämnde tidigare i artikeln, följt av diverse potenslagar, och får då

\((5^x+5^x)^2=(5^x)^2+2\cdot 5^x\cdot 5^x+(5^x)^2=\\=5^{2x}+2\cdot 5^{2x} + 5^{2x}=4\cdot 5^{2x}\,.\)

En aning smidigare blir det om man gör följande trick:

\((5^x+5^x)^2=(2\cdot 5^x)^2=2^2\cdot (5^x)^2=4\cdot 5^{2x}\,.\)

Det man däremot inte kan göra, är att använda den falska potenslagen vi varnade för tidigare:

\(\color{#C00}{(5^x+5^x)^2=(5^x)^2+(5^x)^2=5^{2x}+5^{2x}=2\cdot 5^{2x}}\,.\)

Ett klassiskt misstag som kan ge helt fel resultat!

Som vanligt gör vi klokt i att dubbelkolla med Wolfram Alpha.

Uppgift 9Lösning

Förenkla \((t^n)^{n+2}\cdot t^n\).

Potensen av en potens till vänster i uttrycket ser krångligast ut, så vi börjar med att attackera den. Därefter fortsätter vi förenkla med potenslagar och till slut distrubutiva lagen:

\((t^n)^{n+2}\cdot t^n=a^{n(n+2)}\cdot t^n=t^{n(n+2)+n}=t^{n^2+2n+n}=t^{n^2+3n}\,.\)

En snabb koll i Wolfram Alpha visar att de föreslår en annan förenkling, nämligen \(\left(t^n\right)^{n+3}\). Detta är ingen anledning till panik!  Deras förenkling erhålls genom att bryta ut \(n\) ur exponenten i vår förenkling och sedan använda en av potenslagarna.

Uppgift 10Lösning

Vilken av följande beräkningar är korrekt?

(a) \(2^3+4^3=(2+4)^3=6^3=216\)
(b) \(2^3+4^3=(2+4)^{3+3}=6^6=46656\)
(c) \(2^3+4^3=8+64=72\,.\)

Försök förstå vilka tankefel som har begåtts i de felaktiga beräkningarna.

Den korrekta beräkningen är (c), där man helt enkelt bara har följt prioriteringsreglerna: räknat ut potenserna först och sedan utfört additionen. Ett helt säkert tillvägagångssätt! Att svaret är 72 håller för övrigt Wolfram Alpha också med om.

I beräkningarna (a) och (b) har däremot två falska potenslagar använts. I (a) har man fallit i den klassiska fällan

\(\color{#C00}{a^x+b^x=(a+b)^x}\)

som vi varnade för tidigare i artikeln, och i (b) verkar man ha använt sig av den ännu märkligare varianten

\(\color{#C00}{a^x+b^y=(a+b)^{x+y}}\,.\)

Som du ser gav dessa båda misstag helt fel svar. För att undvika att gå i samma fälla själv bör du alltid kritiskt granska dina lösningar, och alltid övertyga dig om en formels rimlighet innan du utnyttjar den.


Artikeln skriven av Oskar Henriksson. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 3 augusti 2017. Senast uppdaterad 19 augusti 2017.

Kommentarer är stängda