Faktor
En faktor är en komponent vid multiplikation, det vill säga om vi till exempel har \(5\cdot 6\), så är faktorerna 5 och 6. Detta gäller inte enbart tal; om vi har \( (x+5)(y+9)\) så är \( (x+5)\) och \( (y+9)\) faktorer.
Faktorisering och uppdelning i faktorer
Faktorisering och uppdelning i faktorer betyder samma sak och innebär att man skriver ett uttryck (ofta summor eller differenser) som en produkt av flera faktorer.
Nedan följer ett par exempel på faktorisering
\( 8 = 2\cdot 4\)
\( 9 = 3\cdot 3\)
\( 42 = 6\cdot 7 = 2\cdot 3 \cdot 7\)
Det sista kallas för en primfaktorisering eftersom vi faktoriserar talet 42 i primfaktorer. Dvs alla faktorer är primtal. Det finns bara ett sätt att primfaktorisera ett tal. Här följer några till exempel, fast med variabler nu.
\( (8x-24) = 8(x-3)\)
\( u(3xy-12z) = 3u(xy-4z)\)
\( 25x^2z + 15x^2 + 35x^2y = 5x^2(5z + 3 + 7y)\)
\( 76t^2z^4 – 13t^5z^3 = t^2z^3(76z-13t^3) \)
Det som gjorts i dessa exempel är att det har brytits ut största möjliga faktor. Dvs den faktor som är den största gemensamma, mellan termerna. Om vi prövar att multiplicera in 8:an i parentesen i det första exemplet får vi
\( 8(x-3) = 8x -3 \cdot 8 = 8x-24\)
och allt ser ut att stämma.
Här följer några exempel där konjugat och kvadreringsregeln utnytjas.
\( x^2 + 12x + 36 = x^2 + 2\cdot 6x + 6^2 = /\mathrm{kvadreringsregeln}/ = (x+6)^2 = (x+6)(x+6) \)
\( 4y^2 – 16 = (2y)^2 – 4^2 = /\mathrm{konjugatregeln}/ = (2y-4)(2y+4) = \\ = 2(y-2)2(y+2) = 4(y-2)(y+2) \)
\( t^4-1 = (t^2)^2 – 1^2 = /\mathrm{konjugatregeln}/ = (t^2 – 1)(t^2 + 1) = \\ = (t^2 – 1^2)(t^2 + 1) = (t-1)(t+1)(t^2+1) \)
Faktorisering är mycket användbart. Det kan användas för att lättare hantera stora tal utan miniräknare (exempel kommer nedan), förlänga och förkorta uttryck, finna nollställen och teckenändringar. Hur faktoruppdelningen skall gå till styrs helt enkelt av problemet man står inför men ofta gäller det att hitta de mest grundläggande komponenterna i ett objekt. Har man väl delat upp ett objekt på detta vis blir det (ofta) betydligt lättare att se samband som man kan utnyttja. Nedan följer ett par exempel :
Exempel
Förenkla uttrycket utan att använda miniräknare
\( \frac{6^2\cdot 81 \cdot 54 \cdot 21^3 \cdot 5 \cdot 10^5}{2^8\cdot 9^5\cdot 5^6\cdot 7^2}\)
Om vi faktoriserar produkterna så blir problemet lättare att lösa (notera att vi använder oss av potenslagarna. Om du inte är bekant med dessa än så är det dags att repetera),
\( \frac{(3\cdot 2)^2 \cdot 9^2 \cdot (6\cdot 9) \cdot (3\cdot 7)^3 \cdot 5 \cdot (5\cdot 2)^5}{2^8 \cdot (3\cdot 3)^5 \cdot 5^6 \cdot 7^2} =\)
\( = \frac{3^2\cdot 2^2 \cdot (3\cdot 3)^2 \cdot (3\cdot 2)\cdot (3\cdot 3) \cdot 3^3 \cdot 7^3 \cdot 5 \cdot 5^5 \cdot 2^5}{2^8 \cdot 3^5 \cdot 3^5 \cdot 5^6 \cdot 7^2}=\)
multiplicera ihop
\( = \frac{3^{12}\cdot 2^8 \cdot 7^3 \cdot 5^6}{2^8 \cdot 3^{10} \cdot 5^6 \cdot 7^2}=\)
förkorta
\( = 3^2 \cdot 7 = 9 \cdot 7 = 63 \ .\)
Övningar och lösningar
Förenkla