v-t-diagram

Vi har tidigare tittat på s-t-grafer som beskrivning av rörelse, och vi har sett hur man i en sådan graf kan avläsa hastigheten som grafens lutning. Men ibland är sträckan okänd medan hastigheten är känd. Då är det ibland mer intressant med en v-t-graf.

I en v-t-graf har vi hastigheten v på den lodräta axeln och tiden t på den horisontella. När hastigheten är konstant får vi en en horisontell rät linje i en v-t-graf. Om vi nu backar tillbaka och funderar över sträckformeln, s = vt, ser vi att sträckan är densamma som arean mellan hastighetskurvan och tidsaxeln.

v-t-graf

Denna tolkning av sträcka som arean under en v-t-graf är mycket viktig i fysiken! Den går även att generalisera till fall där hastigheten inte är konstant, såsom här nedan:

v-t-graf

Med hjälp av konceptet integraler från matematiken kan man argumentera för att sträckan även i det här fallet är arean under grafen. Tyvärr är det inte helt okomplicerat att räkna ut en sådan area. Ibland kan integraler användas, och ibland kan man göra det med hjälp av dator. Men oftast kan man få en acceptabel approximation genom att räkna antalet rutor under grafen i ett noggrant ritat diagram.

Låt oss titta på ett exempel!

ExempelLösning

Emma har en kaka i ugnen när hon kommer på att hon saknar viktiga ingredienser till glasyren. Hon vill utnyttja sin tid så effektivt som möjligt så hon bestämmer sig för att springa till affären och införskaffa dem innan kakan är klar. Dock stöter hon på en vän på vägen, ca 20 sekunder efter att hon gett sig av. Hon stannar en halv minut och pratar, varefter hon ger sig av igen, springandes, till affären. Det tar 30 sekunder innan hon kommer fram.

I affären håller hon en konstant gångfart, det tar ca 20 sekunder att ta sig ur affären. Hon promenerar sedan raskt hem samma väg och när hon äntligen är hemma noterar hon att hon varit borta totalt 3 minuter och 17 sekunder. Nedan finner du v-t-grafen (där v i detta fall är farten, som till skillnad från hastigheten saknar riktning) för hennes rörelse. Hur långt var det till affären? Hur lång sträcka avverkade hon totalt under dessa 3 min och 17 s?

v-t-graf

Arean mellan hastighetskurvan och t-axeln v-t-grafen är lika med sträckan.

v-t-graf

Det svagt lilafärgade ytan är hela sträckan för vägen till affären. Notera att farten är noll mellan 20 sekunder och 50 sekunder eftersom hon stannade för att prata med sin vän en halvminut. Det starkt lila/rosa är sträckan hon går i affären. Och slutligen är den blå arean sträckan hem, denna är precis lika stor som den svagt lila eftersom hon tog precis samma väg hem igen från affären.

Vi räknar hur stor arean är. Det är ca 25 rutor på vägen till affären totalt. Varje ruta motsvarar sträckan 10 meter, eftersom 1 m/s ∙ 10 s = 10 m. Alltså är vägen till affären totalt ca. 250 meter.

Vi räknar nu hela sträckan hon gått, vilket innefattar även det hon gått i affären. Det starkt lila/rosa är 3 rutor och motsvarar alltså 30 meter. Sträckan tillbaka hem från affären är lika lång som från hemmet till affären. Vi dubblar sträckan, och får totalt

\(\mathrm (30 + 2\cdot 250) m=530 m\,.\)

Svar: Sträckan till affären var 250 m och den totala sträckan hon avverkade var 530 m.


Artikeln skriven av Jimi Brander och Oskar Henriksson. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 7 april 2009. Senast uppdaterad 1 september 2016.

Kommentarer är stängda