Sträckformler vid konstant acceleration

Vi har redan härlett sträckformler som kan användas vid konstant hastighet. Nu är vi redo att härleda ytterligare formler för fallet där hastigheten ändras, men där accelerationen är konstant.

Härledning

När accelerationen är konstant blir hastighetskurvan en rät linje, detta gör att vi kan se ett antal mönster i grafen. Som du förhoppningsvis minns är arean under en v-t-graf alltid lika med den tillryggalagda sträckan. Studera följande graf. Vi har två hastigheter, v0 är ursprungshastigheten och v är en hastighet vid ett senare tillfälle.

v-t-grafv-t-graf

Eftersom hastighetskurvan i detta fall är en förstagradsfunktion av tiden, dvs en rät linje, är medelvärdet av start och slut -hastigheten lika med medelhastigheten. Det vill säga,

\(\bar{v}=\frac{v_0+v}{2} = \frac{1}{2}(v_0+v)\,.\)

Punkten (0, \(\bar{v}\)) befinner sig precis i mitten mellan v0 och v.

Vi drar en linje från denna punkt och låter den löpa parallellt med t-axeln, vi får då två trianglar. Den lilla färgade avdelade triangeln i toppen är lika stor som den icke färgade triangeln, vilket medför att arean vid tiden t är lika med

\(\bar{v}\cdot t = \frac{1}{2}(v_0+v)t\,.\)

Arean är lika med sträckan, vi har härlett en formel som beräknar sträckan,

\( s = \frac{1}{2}(v_0+v)t\,.\)

Denna formel innehåller dock inte accelerationen. Vi sätter in vår formel för hastighet, v = v0 + at, i ovanstående och får

\( s = \frac{1}{2}(v_0 + v_0 + at)t = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\,.\)

Som vi kan se så är sträckan en andragradsekvation av tiden, dvs.

\(s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\,.\)

Finns det redan en sträcka s0 innan accelerationen påbörjas blir formlen

\(s =s_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2\,.\)

Detta är sträckformeln vid konstant acceleration. Notera att den förstås även kan användas när s0 = v0 = 0. Då får vi helt enkelt

\(s = \frac{1}{2}at^2\,.\)

Exempel

Låt oss titta på ett snabbt exempel för hur denna formel kan användas.

ExempelLösning

En kula släpps från ett 122,75 meter högt torn, luftmotståndet är försumbart så den accelererar med 9,82 m/s2 mot marken. Hur lång tid tar det innan kulan når marken?

Vi använder oss av följande formel:

\(s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\,.\)

Kulan befinner sig först i vila, dvs. starthastigheten är noll, då får vi en enklare formel,

\(s = 0\cdot t + \frac{1}{2}at^2=\frac{1}{2}at^2\,.\)

Sträckan som kulan färdas är 122,75 meter, och accelerationen är 9,82 m/s2. Alltså har vi

\(\mathrm{122,75\,m = \frac{1}{2}9,82\,m/s^2\cdot }t^2\)

\(\mathrm{122,75\,m = 4,91\,m/s^2 \cdot }t^2\)

\(t^2 =\mathrm{25\,s^2}\)

\(t=\mathrm{\sqrt{25\,s^2}=5\,s}\,.\)

 Svar: Det tar 5 s innan kulan når marken.


Artikeln skriven av Jimi Brander och Oskar Henriksson. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 7 april 2009. Senast uppdaterad 1 september 2016.

Kommentarer är stängda