Resultantkraft

Ofta utsätts föremål för många krafter samtidigt, vilket gör det svårt att uttala sig om hur föremålets rörelse kommer påverkas. Kommer krafterna förstärka varandra eller ta ut varandra? För att lösa detta behöver vi ett sätt att ”lägga samman” krafter, och precis ett sådant erbjuder matematikens addition av vektorer. Den kraft man får när man på detta sätt adderar krafter kalls resultantkraft

Krafter längs en rät linje

När krafter verkar längs en rät linje (tre exempel nedan) är det enkelt att addera krafterna. Det man gör är helt enkelt att man bestämmer sig för en riktning som man betraktas som positiv, och betraktar den andra riktningen som negativ. Studera bilden nedan:

Krafter på ett objekt

En kraft på 10 N åt vänster samt en kraft på 30 N åt höger verkar på objektet. Vi bestämmer att höger är positiv riktning och vänster negativ. Då får vi en kraft på −10 N samt 30 N.

Vi adderar krafterna och får

\(F\mathrm{_{res} = 30 N + (-10\,N) = 30\,N - 10\,N = 20\,N}\,.\)

Svaret blev positivt, vilket innebär att vi har en resultantkraft på 20 N åt höger:

Resultantkraft

Vi tittar på ytterligare två exempel:

Exempel 1Lösning a)Lösning b)
Beräkna resultantkraften på objekten i figurerna nedan.

(a)(b) resultant 5a

Precis som innan bestämmer vi att höger är positiv riktning, vilket ger att

\(F\mathrm{_{res} = 40 N + (-50 N) = 40 N - 50 N = -10\,N}\,.\)

Föremålet påverkas alltså av en resulterande kraft på 10 N åt vänster.

Resultantkraft

Vi börjar med att låta höger vara positiv riktning. Detta ger att

\(F\mathrm{_{res} = 30 N + (-30 N) = 30 N - 30 N = 0}\,.\)

Föremålet påverkas alltså inte av någon resulterande kraft alls.

Resultant kraft

Två krafter som inte verkar längs en rät linje

Om två krafter verkar på ett objekt, men inte längs en rät linje, kan man inte direkt addera deras storlekar som vi tidigare har gjort. Man kan då i stället rita en parallellogram för att beräkna resultanten. Diagonalen i parallellogrammen blir resultanten.

Ett exempel på detta är situationen som beskrivs i figuren nedan. En punkt påverkas av två krafter med storleken 150 N som verkar snett uppåt, respektive snett nedåt.

Krafter

För att kunna beräkna resultanten ritar vi av krafterna och ritar en kraftparallellogram, där resultanten är diagonalen.

Resultantkraft

Eftersom pilarnas längd är proportionell mot deras storlek, kan vi (om vi har ritat noggrant) mäta oss till resultantens storlek eftersom vi vet hur långt 150 N är i bilden.

Anta att du har ritat bilden så att de 150 N stora krafterna är 4 cm långa. Då motsvarar varje centimeter

\(\mathrm{\frac{150}{4\, N} = 37,5\,N}\,.\)

Anta att resultanten i samma skala blev 7,7 cm, vilket innebär att

\(F\mathrm{_{res}=7,7\cdot 37,5\,N=288{,}75\,N}\,.\)

Resultanten är alltså 290 N åt höger.

I vissa sammanhang går det att med hjälp av trigonometri beräkna resultanten utan att rita och mäta. Låt oss titta på ett sådant exempel, där lösningen lämnas som övning till läsaren.

Exempel 2Lösning
Ett objekt påverkas av en kraft på 70 N samt en kraft på 110 N, med riktningar enligt figur. Bestäm resultanten.

Krafter som verkar på ett objekt

För att beräkna resultanten utnyttjar vi att vinkeln mellan krafterna är 90°, vilket betyder att kraftparallellogramen blir en rektangel där diagonalen, dvs. resultanten, är hypotenusan i två rätvinkliga trianglar.

Resultantkraft

Här kan vi alltså beräkna resultanten med hjälp av Pythagoras sats. Enligt den är

\(F\mathrm{_{res}^2 = (70\,N)^2 + (110\,N)^2 = 17000\,N^2}\,,\)

vilket ger att

\(F\mathrm{_{res} = \sqrt{17000 N^2} \approx 130\,N}\,.\)

Resultaten är alltså 130 N och pekar snett nedåt åt höger.

Flera krafter som inte verkar längs en linje

Om fler än två krafter verkar i en punkt men inte verkar längs en rät linje, blir parallelogrammetoden jobbig att använda (man får ta en addition åt gången). Ett alternativ är att i stället bilda en så kallad kraftpolygon. Detta görs geometriskt på följande sätt:

  1. Välj ut en kraftpil att börja med.
  2. Parallellförflytta de övriga krafterna (dvs. flytta pilarna utan att ändra deras lutning) så att de bildar en sammanhängande kedja, där varje kraftpil ”hakar i” nästa pils angreppspunkt med sitt huvud.
  3. Dra en pil som börjar i den först kraftpilens angreppspunkt, och slutar vid den sista kraftpilens huvud. Denna kommer att motsvara den sökta resultanten.

Låt oss förtydliga detta med ett exempel. I figuren nedan verkar de fyra krafterna Fa, Fb, Fc och Fd i punkten P. Resultanten Fres får vi genom att flytta om dem så att de bildar en kraftpolygon. Notera att det inte spelar någon roll i vilken ordning krafterna placeras.

kraftpolygon

Resultantens storlek kan beräknas genom att mäta i figuren, eller genom att utnyttja kända vinklar.

Exempel 3Lösning
Tre krafter verkar i en punkt enligt figuren nedan.

Krafter som verkar i en punkt

Vilken resulterande kraft kommer de påverka punkten med?

Vi använder metoden ovan för att beräkna resultanten. Som den första kraften väljer vi den liggande på 30 N, därefter positionerar vi den stående 30 N kraftens svans på den liggandes huvud. Sedan tar vi 20 N kraften och positionerar den så att dess svans rör vid den stående 30 N kraftens huvud. Slutligen drar vi en pil från den första kraftens svans till den sista pilens huvud, som motsvarar resultanten och är markerad blå i figuren nedan.

ResultantResultant

Utifrån rutorna och pilarna kan vi avgöra att en ruta motsvarar 10 N. Resultanten är hypotenusan i en rät triangel och vi kan alltså använda Pytagoras sats för att beräkna den. Kateterna är 30 N och 10 N. Vi får då att

\(F\mathrm{_{res}^2 = (30\,N)^2 + (10\,N)^2 = 1000\,N^2}\,.\)

Alltså är

\(F\mathrm{_{res} = \sqrt{1000\,N^2} \approx 31{,}6\,N}\,.\)

Resultanten är alltså 32 N snett åt vänster.

Exempel 4Lösning
Bestäm resultanten av krafterna a, b, c och d i figuren nedan. Varje ruta motsvaras av 10 N.

Krafter som verkar i en punkt

Vi parallellförflyttar kraftpilarna och precis som innan spelar det ingen roll vilken ordning vi placerar pilarna i (så länge de behåller sin storlek och riktning).  Därefter drar vi resultanten, vilket ger oss en figur som ser ut så här:

resultant 15

Här får vi återigen en rätvinklig triangel, som vi kan applicera Pythagoras sats på. Katerna blir 4 respektive 2 längdenheter i det här rutsystemet och eftersom varje ruta motsvarar 10 N gäller alltså att

\(F\mathrm{_{res}^2 = (20\,N)^2 + (40\,N)^2 = 2000\,N^2}\,,\)

vilket i sin tur ger att

\(F\mathrm{_{res} = \sqrt{2000\,N^2} \approx 45\,N}\,.\)

Svar: Resultaten blir 45 N snett åt höger.

Artikeln skriven av Jimi Brander och Oskar Henriksson. Lämna feedback / ställ en fråga.
Publicerad 6 april 2009. Senast uppdaterad 2 september 2016.

Comments are closed